Сходимость почти всюду (V]k;nbkvm, hkcmn fvZ;r)

Последовательность функций сходится почти всюду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, имеет нулевую меру.

Определение

Пусть $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ — пространство с мерой, и $f_{n},f:X\to \mathbb {R} ,\;n\in \mathbb {N}$. Говорят, что $\{f_{n}\}$ сходится почти всюду, и пишут $f_{n}\to f$ $\mu$-п.в., если

$\mu \left(\{x\in X\mid \lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)\not =f(x)\}\right)=0$.

Терминология теории вероятностей

Если $(X,{\mathcal {F}},\mu )=(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ есть вероятностное пространство, и $Y_{n},Y$ — случайные величины, такие что

$\mathbb {P} \left(\{\omega \in \Omega \mid \lim \limits _{n\to \infty }Y_{n}(\omega )=Y(\omega )\}\right)=1$,

то говорят, что последовательность $\{Y_{n}\}$ сходится почти наверное к $Y$.

Свойства сходимости п.в.

• Поточечная сходимость, очевидно, влечёт сходимость почти всюду.
• Пусть $f_{n}\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )\;\forall n\in \mathbb {N}$, где $1\leq p<\infty$, и $\{f_{n}\}$ сходится почти всюду к $f$. Пусть также существует функция $g\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )$ такая, что $|f_{n}(x)|\leq |g(x)|$ для всех $n$ и почти всех $x\in X$ (суммируемая мажоранта). Тогда $f\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )$, и $f_{n}\to f$ в $L^{p}$. Без априорного предположения о существовании суммируемой мажоранты из сходимости почти всюду (и даже всюду) не следует сходимости в $L^{p}$. Например, последовательность функций $n\chi _{[0,1/n]}$ сходится к 0 почти всюду на $[0,1]$, но не сходится в $L^{1}[0,1]$.
• Сходимость почти всюду влечёт сходимость по мере, если мера конечна. Для пространств с бесконечной мерой это неверно.
• Сходимость почти всюду на множестве конечной меры равносильна усиленному условию сходимости по мере. Рассмотрим множество $R_{n}(\sigma )$ всех $x$ из $X$, для которых хотя бы один член ряда имеет номер, не меньший $n$, но его разность с $f(x)$ по модулю больше $\sigma .$ Предел при возрастающем $n$ меры множества $R_{n}(\sigma )$ равен нулю для любого положительного $\sigma$ тогда и только тогда, когда $\{f_{n}\}$ стремиться к $f$ почти всюду на $X$. В формальной записи:

$\forall \sigma >0,\lim _{n\to \infty }\mu \left\{\bigcup _{k=n}^{\infty }\{x\in X:|f_{k}(x)-f(x)|>\sigma \}\right\}=0$ $\Leftrightarrow f_{n}\xrightarrow {\quad \ } ^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\text{п.в.}}}f$ на $X.$

При переходе от сходимости к первому условию важно, чтобы мера $X$ было конечна. Подразумевается, что мера счётно-аддитивна и полна.

Доказательство

Пусть $X_{0}\subseteq X$ — множество точек, где последовательность функций не сходится к $f(x)$.

По определению предела в $X_{0}$ попадают те и только те точки, в которых для некоторого $\sigma >0$ из последовательности $f_{n}(x)$ можно выбрать подпоследовательность, не попадающую в $\sigma$-окрестность значения $f(x)$. При этом можно приблизить $\sigma$ некоторым положительным рациональным числом $q.$ Формализуя вышесказанное:

$X_{0}=\bigcup _{\sigma >0}\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }\left\{x\in X:|f_{k}(x)-f(x)|>\sigma \right\}$ $=\bigcup _{\sigma >0}\bigcap _{n=1}^{\infty }R_{n}(\sigma )$ $=\bigcup _{q\in \mathbb {Q} ^{+}}\bigcap _{n=1}^{\infty }R_{n}(q)$, где $\mathbb {Q} ^{+}=\mathbb {Q} \cap (0;\infty ).$

Отметим, что при любом $\sigma >0$ данное множество $R_{n}(\sigma )$ содержит следующее $R_{n+1}(\sigma ).$

1. Предположим, что последовательность сходится почти всюду, то есть мера $X_{0}$ равна нулю. Но для любого $\sigma$ пересечение множеств $R_{n}(\sigma )$ — подмножество $X_{0}$, так что мера этого пересечения в связи с полнотой меры также ноль. Но множества $R_{n}(\sigma )$ сужаются — непрерывность меры влечёт доказываемое равенство:

$\lim _{n\to \infty }R_{n}(\sigma )=\bigcap _{n=1}^{\infty }R_{n}(\sigma )=0.$

2. Обратно, пусть указанная в условии мера множеств стремится к нулю. Тогда эта мера конечна (хотя бы начиная с некоторого номера), и по свойству непрерывности меры при каждом положительном рациональном $q$:

$\bigcap _{n=1}^{\infty }R_{n}(q)=\lim _{n\to \infty }R_{n}(q)=0.$

Значит, множество $X_{0}$ является объединением множеств меры ноль и в силу счётной-аддитивности меры само имеет меру ноль.

См. также

• Почти всюду