Теорема Лузина (Mykjybg Lr[nug)
Теоре́ма Лу́зина — утверждение о необходимых и достаточных условиях измеримости функции одной вещественной или комплексной переменной. Согласно этой теореме, каждая измеримая на отрезке функция есть не что иное, как непрерывная функция, искажённая на некотором множестве сколь угодно малой меры. Это утверждение также часто называют -свойством.
Формулировка
[править | править код]Для того, чтобы функция , заданная на отрезке , была измерима, необходимо и достаточно, чтобы она обладала так называемым -свойством: для любого найдётся такая функция , непрерывная на отрезке , что мера множества меньше .
Доказательство
[править | править код]Доказательство в доступной для начинающих форме есть в книге [1]. Кроме того, теорема Лузина несложно выводится из теоремы Егорова[2]. В этой теореме произвольно малое число нельзя заменить нулём (нарушится необходимость).
История открытия
[править | править код]Этот раздел статьи ещё не написан. |
Примечания
[править | править код]- ↑ Соболев В. И., Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 135.
- ↑ Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа. — гл. V, пар 4.7.
Литература
[править | править код]- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
- Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.
- Богачев В. И., К истории открытия теорем Егорова и Лузина. — Историко-математические исследования, вып. 48 (13), 2009.
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|