Теорема Гурвица о нормированных алгебрах с делением (Mykjybg Irjfneg k ukjbnjkfguud] gliyQjg] v ;ylyunyb)

Теорема Гурвица о нормированных алгебрах — утверждение о множестве всех возможных алгебр с единицей, допускающих при введении скалярного произведения правило «норма произведения равна произведению норм» (нормированная алгебра). Установлена немецким математиком Гурвицем в 1898 году.^[1].

Формулировка[править | править код]

Любая нормированная алгебра с единицей изоморфна одной из четырех алгебр: действительных чисел, комплексных чисел, кватернионов или октонионов^[2].

Примечание[править | править код]

Здесь нормированной алгеброй называется алгебра, для любых двух элементов $a$ и $b$ которой выполняется тождество $(ab,ab)=(a,a)(b,b)$ , где $ab$ — произведение в алгебре, $(\cdot ,\cdot )$ — скалярное произведение.

Доказательство[править | править код]

Доказательство теоремы содержится в книге ^[3].

Примечания[править | править код]

↑ Hurwitz, A. (1898), "Über die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln", Goett. Nachr.: 309—316
↑ Гиперкомплексные числа, 1973, с. 99.
↑ Гиперкомплексные числа, 1973, с. 99-108.

Литература[править | править код]

Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — М.: Наука, 1973. — 143 с.

[1] Hurwitz, A. (1898), "Über die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln", Goett. Nachr.: 309—316

[_e241ee0535f9ae05-2] Гиперкомплексные числа, 1973, с. 99.

[_9063d4e4c6a9e037-3] Гиперкомплексные числа, 1973, с. 99-108.

[1]

[2]

[3]

Числовые системы
Счётные множества	Натуральные числа ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ ) Целые ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ ) Рациональные ( $\scriptstyle \mathbb {Q}$ ) Алгебраические ( $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ ) Периоды Вычислимые Арифметические
Вещественные числа и их расширения	Вещественные ( $\scriptstyle \mathbb {R}$ ) Комплексные ( $\scriptstyle \mathbb {C}$ ) Кватернионы ( $\scriptstyle \mathbb {H}$ ) Числа Кэли (октавы, октонионы) ( $\scriptstyle \mathbb {O}$ ) Седенионы ( $\scriptstyle \mathbb {S}$ ) Альтернионы Дуальные Гиперкомплексные Супердействительные Гипервещественные Сюрреальные
Инструменты расширения числовых систем	Процедура Кэли — Диксона Теорема Фробениуса Теорема Гурвица
Другие числовые системы	Кардинальные числа Порядковые числа (трансфинитные, ординалы) p-адические Супернатуральные числа Интервальные числа
См. также	Гиперболические числа Иррациональные числа Трансцендентные числа Числовой луч Бикватернион