Супернатуральные числа (Vrhyjugmrjgl,udy cnvlg)

Супернатуральные числа (иногда также именуемые обобщёнными натуральными числами или числами Штайница) являются обобщением натуральных чисел. Супернатуральное число $\omega$ является формальным произведением:

$\omega =\prod _{p}p^{n_{p}},$

где $p$ может быть любым простым числом, а каждое $n_{p}$ является или натуральным числом, или бесконечностью. Иногда пишут $v_{p}(\omega )$ для обозначения $n_{p}$. Если не выполняется условие $n_{p}=\infty$ и имеется только конечное число ненулевых $n_{p}$, получаем стандартный натуральный ряд. Супернатуральные числа позволяют расширить ряд натуральных чисел, используя возможность бесконечного числа простых факторов, и позволяют любому данному простому числу делить число $\omega$ «бесконечнократно», приравнивая показатель экспоненты к бесконечности.

Не существует естественного способа определить сложение на множестве супернатуральных чисел, но их можно перемножать: $\prod _{p}p^{n_{p}}\cdot \prod _{p}p^{m_{p}}=\prod _{p}p^{n_{p}+m_{p}}$. Аналогичным образом на них распространяется понятие делимости $\omega _{1}\mid \omega _{2}$ если $v_{p}(\omega _{1})\leq v_{p}(\omega _{2})$ для всех $p$. Можно также ввести для супернатуральных чисел понятия наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя, определив

$\displaystyle \operatorname {lcm} (\{\omega _{i}\})\displaystyle =\prod _{p}p^{\sup(v_{p}(\omega _{i}))}$

$\displaystyle \operatorname {gcd} (\{\omega _{i}\})\displaystyle =\prod _{p}p^{\inf(v_{p}(\omega _{i}))}$

С помощью этих алгоритмов можно как получить наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель для бесконечного количества натуральных чисел, так и провести аналогичную процедуру для супернатуральных чисел.

Обычные p-адические функции можно распространить на супернатуральные числа, определив $v_{p}(\omega )=n_{p}$ для каждого $p$.

Супернатуральные числа используются для определения порядков и индексов проконечных групп; благодаря этому удалось обобщить на проконечные группы многие теоремы о конечных группах.

Ссылки

• Planet Math: Supernatural number