Дуальные числа (:rgl,udy cnvlg)
Дуальные числа или (гипер)комплексные числа параболического типа — гиперкомплексные числа вида , где и — вещественные числа, а — абстрактный элемент, квадрат которого равен нулю, но сам он нулю не равен. Любое дуальное число однозначно определяется такой парой чисел и . Множество всех дуальных чисел образует двумерную коммутативную ассоциативную алгебру с единицей относительно мультипликативной операции над полем вещественных чисел . В отличие от поля обычных комплексных чисел, эта алгебра содержит делители нуля, причём все они имеют вид . Плоскость всех дуальных чисел представляет собой «альтернативную комплексную плоскость». Аналогичным образом строятся алгебры комплексных и двойных чисел.
Замечание. Иногда дуальные числа называют двойными числами[1], хотя обычно под двойными числами понимается иная система гиперкомплексных чисел.
Определение
[править | править код]Алгебраическое определение
[править | править код]Дуальные числа — это пары вещественных чисел вида , для которых определены операции умножения и сложения по правилам:
Числа вида отождествляются при этом с вещественными числами, а число обозначается , после чего определяющие тождества примут вид:
Более кратко, кольцо дуальных чисел есть факторкольцо кольца вещественных многочленов по идеалу, порождённому многочленом .
Матричное представление
[править | править код]Дуальные числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению дуальных чисел соответствует сложение матриц, а умножению чисел — умножение матриц. Положим . Тогда произвольное дуальное число примет вид
- .
Показательная форма
[править | править код]Для экспоненты с дуальным показателем верно следующее равенство:
Данная формула позволяет представить любое дуальное число в показательной форме и найти его логарифм по вещественному основанию. Она может быть доказана разложением экспоненты в ряд Тейлора:
При этом все члены выше первого порядка равны нулю. Как следствие:
Арифметические операции
[править | править код]- Сложение
- Вычитание
- Умножение
- Деление
Корни
[править | править код]Корень n-й степени из числа вида определяется как
Дифференцирование
[править | править код]Дуальные числа тесно связаны с дифференцированием функций. Рассмотрим аналитическую функцию , область определения которой можно естественным образом продолжить до кольца дуальных чисел. Можно легко показать, что
Как известно,
то есть
но так как все степени больше единицы равны нулю, то
Теперь рассмотрим разложение функции в ряд Маклорена (с разложением в ряд Тейлора все аналогично):
Рассмотрим ту же функцию от дуального аргумента:
По формуле (1) получаем
Второе слагаемое — не что иное, как разложение в ряд производной функции , то есть
Таким образом, производя вычисления не над вещественными, а над дуальными числами, можно автоматически получать значение производной функции в точке. Особенно удобно рассматривать таким образом композиции функций.
Можно провести аналогию между дуальными числами и числами нестандартного анализа. Мнимая единица ε кольца дуальных чисел подобна бесконечно малому числу нестандартного анализа: любая степень (выше первой) в точности равна 0, в то время как любая степень бесконечно малого числа приблизительно равна 0 (является бесконечно малой более высокого порядка). Значит, если — бесконечно малое число, то с точностью до кольцо гипердействительных чисел вида изоморфно кольцу дуальных чисел.
Примечания
[править | править код]- ↑ Дж. Хамфри. Линейные алгебраические группы. — М.: Наука, 1980. — С. 121.
Литература
[править | править код]- И. М. Яглом Комплексные числа и их применение в геометрии. М.:Физматлит, 1963. 192 с.
- V.V. Kisil (2007) Inventing the Wheel, the Parabolic One arXiv:0707.4024 (англ.)