Теорема Гирсанова (Mykjybg Injvgukfg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Гирсанова (иногда Теорема CMG по фамилиям авторов — Cameron[англ.], Martin[англ.], Girsanov) — применяемая в стохастической финансовой математике теорема, позволяющая определить изменение стохастического дифференциального уравнения, описывающего некоторый процесс, при изменении вероятностной меры, в которой этот процесс представляется. Теорема также определяет конкретный вид так называемого процесса плотности, связанного с производной Радона — Никодима — производной одной меры по другой. При замене вероятностной меры изменяется трендовая составляющая процессов, а «стохастическая» часть («волатильность») остается неизменной.

Результаты такого рода были впервые доказаны Кэмероном и Мартином в 1940-х годах и И. В. Гирсановым в 1960 году. Впоследствии они были распространены на более общие классы процессов, кульминацией которых стала общая форма Э. Ланглара, полученная в 1977 году.

Базовая формулировка теоремы

[править | править код]

Одномерный случай

[править | править код]

Пусть  — винеровский процесс в данной мере . Тогда процесс (в дифференциальной форме)

является винеровским процессом в мере , эквивалентной исходной и связанной с исходной мерой посредством процесса плотности следующего вида (в дифференциальной форме):

или в интегральной форме (так называемая стохастическая экспонента или экспонента Долеан-Дейд[англ.]):

Важным условием справедливости теоремы является так называемое условие Новикова[англ.]:

Многомерный случай

[править | править код]

Пусть  — вектор независимых винеровских процессов в данной мере . Тогда процесс (в дифференциальной форме)

является винеровским процессом в мере , эквивалентной исходной и связанной с исходной мерой посредством процесса плотности следующего вида (в дифференциальной форме):

или в интегральной форме (так называемая стохастическая экспонента):

Важным условием справедливости теоремы является так называемое условие Новикова:

Следствие для стохастических процессов общего вида

[править | править код]

Пусть в данной мере задан стохастический процесс следующего вида (в дифференциальной форме):

где  — некоторая функция, определяющая трендовую (дрифт) составляющую процесса. Тогда при замене вероятностной меры данный процесс можно записать с помощью другой функции для трендовой составляющей следующим образом:

где процесс , является винеровским процессом в новой мере и определяется как указано в исходной формулировке теоремы Гирсанова: , где

Процесс плотности для соответствующих мер определяется аналогично исходной формулировке теоремы с учетом данного обозначения.

Если исходно начинать с некоторого процесса , то по существу преобразование исходного стохастического дифференциального представления процесса имеет вид:

Для того, чтобы данная запись была стандартной дифференциальной записью стохастического процесса необходимо чтобы процесс , определенный в дифференциальной форме как был винеровским процессом. Теорема Гирсанова утверждает, что такой процесс является винеровским в другой вероятностной мере (эквивалентной исходной), заданной процессом плотности вышеуказанного вида.

Пример замены меры

[править | править код]