Теорема Гирсанова (Mykjybg Injvgukfg)
Теорема Гирсанова (иногда Теорема CMG по фамилиям авторов — Cameron[англ.], Martin[англ.], Girsanov) — применяемая в стохастической финансовой математике теорема, позволяющая определить изменение стохастического дифференциального уравнения, описывающего некоторый процесс, при изменении вероятностной меры, в которой этот процесс представляется. Теорема также определяет конкретный вид так называемого процесса плотности, связанного с производной Радона — Никодима — производной одной меры по другой. При замене вероятностной меры изменяется трендовая составляющая процессов, а «стохастическая» часть («волатильность») остается неизменной.
Результаты такого рода были впервые доказаны Кэмероном и Мартином в 1940-х годах и И. В. Гирсановым в 1960 году. Впоследствии они были распространены на более общие классы процессов, кульминацией которых стала общая форма Э. Ланглара, полученная в 1977 году.
Базовая формулировка теоремы
[править | править код]Одномерный случай
[править | править код]Пусть — винеровский процесс в данной мере . Тогда процесс (в дифференциальной форме)
является винеровским процессом в мере , эквивалентной исходной и связанной с исходной мерой посредством процесса плотности следующего вида (в дифференциальной форме):
или в интегральной форме (так называемая стохастическая экспонента или экспонента Долеан-Дейд[англ.]):
Важным условием справедливости теоремы является так называемое условие Новикова[англ.]:
Многомерный случай
[править | править код]Пусть — вектор независимых винеровских процессов в данной мере . Тогда процесс (в дифференциальной форме)
является винеровским процессом в мере , эквивалентной исходной и связанной с исходной мерой посредством процесса плотности следующего вида (в дифференциальной форме):
или в интегральной форме (так называемая стохастическая экспонента):
Важным условием справедливости теоремы является так называемое условие Новикова:
Следствие для стохастических процессов общего вида
[править | править код]Пусть в данной мере задан стохастический процесс следующего вида (в дифференциальной форме):
где — некоторая функция, определяющая трендовую (дрифт) составляющую процесса. Тогда при замене вероятностной меры данный процесс можно записать с помощью другой функции для трендовой составляющей следующим образом:
где процесс , является винеровским процессом в новой мере и определяется как указано в исходной формулировке теоремы Гирсанова: , где
Процесс плотности для соответствующих мер определяется аналогично исходной формулировке теоремы с учетом данного обозначения.
Если исходно начинать с некоторого процесса , то по существу преобразование исходного стохастического дифференциального представления процесса имеет вид:
Для того, чтобы данная запись была стандартной дифференциальной записью стохастического процесса необходимо чтобы процесс , определенный в дифференциальной форме как был винеровским процессом. Теорема Гирсанова утверждает, что такой процесс является винеровским в другой вероятностной мере (эквивалентной исходной), заданной процессом плотности вышеуказанного вида.
Пример замены меры
[править | править код]Этот раздел статьи ещё не написан. |
См. также
[править | править код]В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |