Таблица умножения (MgQlneg rbuk'yunx)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Табли́ца умноже́ния, она же табли́ца Пифаго́ра — таблица, где строки и столбцы озаглавлены множителями, а в ячейках таблицы находится их произведение. Используется для обучения школьников умножению.

Таблица умножения периода Сражающихся царств, (Китай, 305 год до н. э.)

Старейшая известная таблица умножения обнаружена в Древнем Вавилоне и имеет возраст примерно 4000 лет. Она основана на шестидесятеричной системе счисления[1]. Старейшая десятеричная таблица умножения найдена в Древнем Китае и датируется 305 годом до н. э.[1] Это так называемые бамбуковые дощечки Сражающихся царств[кит.], приобретённые в июле 2008 года на сянганском рынке культурных реликвий и хранящиеся в университете Цинхуа; всего — 2388 дощечек, самая длинная из которых — 46 см, а самая короткая — 10 см[2].

Иногда изобретение таблицы умножения приписывают Пифагору, в честь которого она названа в различных языках, включая испанский[3], итальянский, русский и французский[4].

В 493 году Викторий Аквитанский создал таблицу из 98 столбцов, которая представляла в римских числах результат перемножения чисел от 2 до 50[5].

В России первая таблица умножения была издана в 1682 году в первой печатной математической книге на русском языке, называвшейся «Считание удобное, которым всякий человек, купующий или продающий, зело удобно изыскати может число всякие вещи…» и содержавшей таблицу умножения пар чисел от до , записанных славянскими цифрами[6]. По экземпляру этой книги хранится, например, в РГБ[7] и в Научной библиотеке МГУ[8].

Джон Лесли в книге The Philosophy of Arithmetic (1820)[9] опубликовал таблицу умножения чисел до 99, позволявшую перемножать цифры парами. Он же рекомендовал ученикам заучивать таблицу умножения до 25.

В своё время введение заучиваемой наизусть таблицы умножения революционизировало устный и письменный счёт. До этого использовались разные хитрые способы вычисления произведений однозначных чисел, которые сильно замедляли весь процесс и служили источником дополнительных ошибок.

В российских школах значения традиционно доходят до . В Великобритании до , что связано в том числе с единицами английской системой мер длины (1 фут = 12 дюймов) и денежного обращения (существовавшей до 1971 г.: 1 фунт стерлингов = 20 шиллингам, 1 шиллинг = 12 пенсам).

В Советском Союзе таблицу умножения обычно «задавали на лето» после 1-го класса, а закрепляли на занятиях во 2-м классе (в возрасте 8 лет). В российских школах чаще всего проходят во 2-м классе. По стандартам английского школьного образования таблица умножения должна быть выучена к возрасту 11 лет (планируется ужесточение требования до 9 лет).[10]

Обычное представление

[править | править код]
Таблица умножения в десятичной системе
· 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 18 27 36 45 54 63 72 81

Как найти результат по таблице умножения

[править | править код]

Чтобы узнать результат произведения по таблице умножения, нужно найти четвёрку в левом столбце и восьмёрку в верхней строке, провести от 4 горизонтальную линию и от 8 вертикальную. Клетка, на которой линии встречаются, является произведением (в данном случае 32).

· 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 18 27 36 45 54 63 72 81

Применение

[править | править код]

Помимо широко известного применения классической таблицы умножения для выработки практических навыков умножения натуральных чисел, её можно использовать в некоторых математических доказательствах, например при выводе формулы суммы кубов натуральных чисел или получении подобного выражения для суммы квадратов[11].

Наряду с таблицей умножения, в некоторых случаях бывают удобны таблицы сложения.

Таблица Кэли

[править | править код]

Таблица Кэли — в общей алгебре, таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Названа в честь английского математика Артура Кэли. Имеет важное значение в дискретной математике, в частности, в теории групп, в которой в качестве операций рассматриваются умножение и сложение. Таблица позволяет определить, является ли группа абелевой, найти центр группы и обратные элементы по отношению к другим элементам в этой группе.

В высшей алгебре таблицы Кэли могут также использоваться для определения бинарных операций в полях, кольцах и других алгебраических структурах. Также они удобны при проведении действий в данных структурах.

Все остатки от деления на натуральное число образуют кольцо, а от деления на простое число — поле. Это иллюстрируется таблицами умножения:

Таблица умножения в кольце вычетов по модулю 8

· 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7
2 0 2 4 6 0 2 4 6
3 0 3 6 1 4 7 2 5
4 0 4 0 4 0 4 0 4
5 0 5 2 7 4 1 6 3
6 0 6 4 2 0 6 4 2
7 0 7 6 5 4 3 2 1

Таблица умножения в поле вычетов по модулю 5

· 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 Jane Qiu. Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips (англ.) // Nature : journal. — 2014. — 7 January. — doi:10.1038/nature.2014.14482. Архивировано 22 января 2014 года.
  2. 吴晓欣. 清华大学藏战国竹简. Большая китайская энциклопедия, 3-е издание (20 января 2022). Дата обращения: 22 апреля 2023. Архивировано 21 апреля 2023 года.
  3. Таблица умножения по-испански — ábaco pitagórico, то есть дословно — «пифагорова счётная таблица», см. в источнике: ábaco // Большой испанско-русский словарь. Более 150 000 слов, словосочетаний и выражений / Н. В. Загорская, Н. Н. Курчаткина, Б. П. Нарумов и др.; под ред. Б. П. Нарумова. — 9-е изд. — М.: Русский язык—Медиа; Дрофа, 2009. — С. 13. — 4000 экз. — ISBN 978-5-9576-0456-3.
  4. Например, в Farrar, John. An Elementary Treatise on Arithmetic (англ.). Архивировано 14 июня 2018 года.
  5. Maher, David W.; Makowski, John F. Literary evidence for Roman arithmetic with fractions (англ.) // Classical Philology. — 2001. — No. 4 (96). — P. 383.
  6. Депман И. А. История арифметики. Пособие для учителей. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства Просвещения РСФСР, 1959. — С. 196—198. — 28 000 экз.
  7. Считание удобное : Таблица умножения Архивная копия от 30 мая 2019 на Wayback Machine — карточка электронного каталога РГБ
  8. Считание удобное : Таблица умножения Архивная копия от 30 мая 2019 на Wayback Machine — карточка каталога Научной библиотеки МГУ
  9. Leslie, John. The Philosophy of Arithmetic; Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of Calculation, with Tables for the Multiplication of Numbers as Far as One Thousand (англ.). — Edinburgh: Abernethy & Walker, 1820.
  10. Children must learn times tables by age nine… Архивная копия от 18 декабря 2011 на Wayback Machine // Daily Mail, 17.12.2011
  11. Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Матезис, 1923. — С. 68—72. Архивировано 24 мая 2012 года.