График y=x², при целых значениях x на отрезке от 1 до 25 Квадра́т числа
x
{\displaystyle x}
x
⋅
x
{\displaystyle x\cdot x}
x
2
{\displaystyle x^{2}}
Вычисление
x
2
{\displaystyle x^{2}}
математическая операция , называемая возведе́нием в квадра́т . Эта операция представляет собой частный случай возведения в степень , а именно — возведение числа
x
{\displaystyle x}
Далее приведено начало числовой последовательности для квадратов целых неотрицательных чисел (последовательность A000290 в OEIS ):
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … Исторически натуральные числа из этой последовательности называли «квадратными» .
Квадрат натурального числа
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
нечётных чисел :
1:
1
=
1
{\displaystyle 1=1}
2:
4
=
1
+
3
{\displaystyle 4=1+3}
…
7:
49
=
1
+
3
+
5
+
7
+
9
+
11
+
13
{\displaystyle 49=1+3+5+7+9+11+13}
… Ещё один способ представления квадрата натурального числа:
n
2
=
1
+
1
+
2
+
2
+
…
+
(
n
−
1
)
+
(
n
−
1
)
+
n
{\displaystyle n^{2}=1+1+2+2+\ldots +(n-1)+(n-1)+n}
1:
1
=
1
{\displaystyle 1=1}
2:
4
=
1
+
1
+
2
{\displaystyle 4=1+1+2}
…
4:
16
=
1
+
1
+
2
+
2
+
3
+
3
+
4
{\displaystyle 16=1+1+2+2+3+3+4}
… Сумма квадратов первых
n
{\displaystyle n}
∑
k
=
1
n
k
2
=
1
2
+
2
2
+
3
2
+
…
+
n
2
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}
Способ 1, метод приведения:
Рассмотрим сумму кубов натуральных чисел от 1 до
n
+
1
{\displaystyle n+1}
∑
k
=
1
n
k
3
+
(
n
+
1
)
3
=
∑
k
=
0
n
(
k
+
1
)
3
=
∑
k
=
0
n
(
k
3
+
3
k
2
+
3
k
+
1
)
=
∑
k
=
0
n
k
3
+
∑
k
=
0
n
3
k
2
+
∑
k
=
0
n
3
k
+
∑
k
=
0
n
1
=
∑
k
=
0
n
k
3
+
3
∑
k
=
0
n
k
2
+
3
∑
k
=
0
n
k
+
∑
k
=
0
n
1
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}+(n+1)^{3}=\sum _{k=0}^{n}(k+1)^{3}=\sum _{k=0}^{n}(k^{3}+3k^{2}+3k+1)=\sum _{k=0}^{n}k^{3}+\sum _{k=0}^{n}3k^{2}+\sum _{k=0}^{n}3k+\sum _{k=0}^{n}1=\sum _{k=0}^{n}k^{3}+3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3\sum _{k=0}^{n}k+\sum _{k=0}^{n}1}
Получим:
(
n
+
1
)
3
=
3
∑
k
=
0
n
k
2
+
3
∑
k
=
0
n
k
+
∑
k
=
0
n
1
=
3
∑
k
=
0
n
k
2
+
3
(
n
+
1
)
n
2
+
(
n
+
1
)
{\displaystyle (n+1)^{3}=3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3\sum _{k=0}^{n}k+\sum _{k=0}^{n}1=3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3{\frac {(n+1)n}{2}}+(n+1)}
Умножим на 2 и перегруппируем:
6
∑
k
=
0
n
k
2
=
2
(
n
+
1
)
3
−
3
(
n
+
1
)
n
−
2
(
n
+
1
)
=
(
n
+
1
)
(
2
(
n
+
1
)
2
−
3
n
−
2
)
=
(
n
+
1
)
(
2
n
2
+
n
)
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
{\displaystyle 6\sum _{k=0}^{n}k^{2}=2(n+1)^{3}-3(n+1)n-2(n+1)=(n+1)(2(n+1)^{2}-3n-2)=(n+1)(2n^{2}+n)=n(n+1)(2n+1)}
∑
k
=
0
n
k
2
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}
∑
k
=
0
n
k
=
(
n
+
1
)
n
2
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k={\frac {(n+1)n}{2}}}
Способ 2, метод неизвестных коэффициентов:
Заметим, что сумма функций степени
N
{\displaystyle N}
N
+
1
{\displaystyle N+1}
∑
k
=
0
n
k
2
=
f
(
n
)
=
A
n
3
+
B
n
2
+
C
n
+
D
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}=f(n)=An^{3}+Bn^{2}+Cn+D}
f
(
0
)
=
0
;
f
(
1
)
=
1
;
f
(
2
)
=
5
;
f
(
3
)
=
14
{\displaystyle f(0)=0;f(1)=1;f(2)=5;f(3)=14}
Получим систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов:
{
0
A
+
0
B
+
0
C
+
D
=
0
A
+
B
+
C
+
D
=
1
8
A
+
4
B
+
2
C
+
D
=
5
27
A
+
9
B
+
3
C
+
D
=
14
{\displaystyle {\begin{cases}0A+0B+0C+D=0\\A+B+C+D=1\\8A+4B+2C+D=5\\27A+9B+3C+D=14\\\end{cases}}}
Решив её, получим
A
=
1
3
,
B
=
1
2
,
C
=
1
6
,
D
=
0
{\displaystyle A={\frac {1}{3}},B={\frac {1}{2}},C={\frac {1}{6}},D=0}
Таким образом:
∑
k
=
0
n
k
2
=
f
(
n
)
=
1
3
n
3
+
1
2
n
2
+
1
6
n
+
0
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}=f(n)={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n+0={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}
Квадрат комплексного числа в алгебраической форме можно вычислить по формуле:
(
a
+
b
i
)
2
=
(
a
2
−
b
2
)
+
2
a
b
i
.
{\displaystyle \left(a+bi\right)^{2}=\left(a^{2}-b^{2}\right)+2abi.}
Аналогичная формула для комплексного числа в тригонометрической форме:
(
r
(
cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
)
2
=
r
2
(
cos
2
ϕ
+
i
sin
2
ϕ
)
.
{\displaystyle \left(r\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)\right)^{2}=r^{2}\left(\cos {2\phi }+i\sin {2\phi }\right).}
Квадрат числа равен площади квадрата со стороной, равной этому числу.
Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. — Конкретная математика. Основание информатики. Пер. с англ. —М.: Мир, 1998. —703 с. 
