Случайное компактное множество (Vlrcgwuky tkbhgtmuky buk'yvmfk)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Случайное компактное множество — случайная величина со значениями в компактных множествах. Случайные компактные множества используются при изучении аттракторов случайных динамических систем.

Определение

[править | править код]

Пусть  — множество всех компактных подмножеств . На можно определить метрику Хаусдорфа :

С такой метрикой множество  становится полным сепарабельным метрическим пространством. Соответствующие открытые подмножества порождают борелевскую -алгебру множества .

Тогда случайное компактное множество — это измеримая функция из некоторого вероятностного пространства в измеримое пространство . Случайные компактные множества в этом смысле — то же, что случайные замкнутые множества у Матерона[1]. Следовательно, их распределение задается вероятностями

Распределение случайного компактного выпуклого множества также задается системой всех вероятностей включения

Связанные определения

[править | править код]
  • Для определена вероятность , которая удовлетворяет соотношению Тогда можно задать функцию покрытия формулой Функция покрытия принимает значения между и и может интерпретироваться как математическое ожидание индикаторной функции
  • Множество всех с называется базой
  • Множество всех с называется ядром, множеством фиксированных точек, или существенным минимумом . Если  — это последовательность независимых одинаково распределенных случайных компактных множеств, то почти наверное и сходится почти наверное к

Примечания

[править | править код]
  1. Матерон Ж. (1978) Случайные множества и интеrральная геометрия, пер. с англ., М.: Мир.

Литература

[править | править код]
  • Матерон Ж. (1978) Случайные множества и интеrральная геометрия, пер. с англ., М.: Мир.
  • Stoyan D., and H.Stoyan (1994) Fractals, Random Shapes and Point Fields. John Wiley & Sons, Chichester, New York.