Полное метрическое пространство (Hkluky bymjncyvtky hjkvmjguvmfk)

Полное метрическое пространство (также полное по Коши́) — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу того же пространства)^[1].

В большинстве случаев рассматривают именно полные метрические пространства. Для неполных пространств существует операция пополнения, дающая возможность рассматривать исходное пространство как плотное множество в своём пополнении. Операция пополнения во многом аналогична операции замыкания для подмножеств.

Пополнение

Всякое метрическое пространство $X=(X,\rho )$ можно вложить в полное пространство $Y$ таким образом, что метрика $Y$ продолжает метрику $X$ , а подпространство $X$ всюду плотно в $Y$ . Такое пространство $Y$ называется пополнением $X$ и обычно обозначается ${\bar {X}}$ .

Построение

Для метрического пространства $X=(X,\rho )$ , на множестве фундаментальных последовательностей в $X$ можно ввести отношение эквивалентности

(x_{n})\sim (y_{n})\Leftrightarrow \lim \rho (x_{n},y_{n})=0.

Множество классов эквивалентности ${\bar {X}}$ с метрикой, определённой

{\bar {\rho }}((x_{n}),(y_{n}))=\lim \rho (x_{n},y_{n}),

является метрическим пространством. Само пространство $(X,\rho )$ изометрически вкладывается в него следующим образом: точке $x\in X$ соответствует класс постоянной последовательности $x_{n}=x$ . Получившееся пространство $({\bar {X}},{\bar {\rho }})$ и будет пополнением $X$ .

Свойства

Пополнение метрического пространства единственно, с точностью до изометрии.
Пополнение метрического $M$ пространства изометрично замыканию образа при вложении Куратовского
Полнота наследуется замкнутыми подмножествами полного метрического пространства.
Полные метрические пространства являются пространствами второй категории Бэра. То есть если полное пространство исчерпывается счётным объединением замкнутых множеств, то хотя бы у одного из них есть внутренние точки.
Метрическое пространство $X$ компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено; то есть, для любого $\varepsilon >0$ пространство $X$ можно покрыть конечным числом шаров радиуса $\varepsilon$ .
Теорема Банаха о неподвижной точке. Сжимающие отображения полного метрического пространства в себя имеют неподвижную точку.
Полнота метрического пространства не является топологическим свойством. То есть полное метрическое пространство может оказаться не полным при замене метрики на эквивалентную, то есть метрику, порождающую ту же топологию, что и исходная метрика.
- Топологическим свойством является наличие хотя бы одной полной метрики в классе метрик, порождающих топологию метрического пространства (так называемая метрическая топологическая полнота или метризуемость полной метрикой).

Примеры

Полные метрические пространства

Множество вещественных (действительных) чисел $\mathbb {R}$ полно в стандартной метрике $d(x,y)=|x-y|$ — естественная метрика на числовой оси.
Множество $\mathbb {R} ^{n}$ с заданной на нём метрикой $d_{2}(x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{\left(x-y\right)}^{2}}}$ — евклидова метрика (или ${l}_{2}$ -метрика);
Вообще, любое конечномерное евклидово или унитарное пространство полно^[1].
Свойство полноты является обязательным в определении банахова пространства, в частности гильбертова пространства.
Пространство непрерывных на отрезке функций с равномерной метрикой является полным метрическим пространством, а потому является банаховым, если рассматривать его как нормированное линейное пространство.

Неполные метрические пространства

Рациональные числа $\mathbb {Q}$ со стандартным расстоянием $d(x,y)=|x-y|$ являются неполным метрическим пространством. Результатом пополнения этого пространства будет множество всех вещественных чисел $\mathbb {R}$ .
Также, рациональные числа могут быть снабжены p-адическим нормированием, пополнение по которому приводит к полю p-адических чисел $\mathbb {Q} _{p}$ .
Пространство интегрируемых (по Риману) на отрезке функций в интегральной метрике $d(f,g)=\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx$ . Результатом пополнения этого пространства будет пространство интегрируемых по Лебегу функций, заданных на том же отрезке.

Вариации и обобщения

Если $X$ имеет алгебраическую структуру, согласованную с метрикой, например топологического кольца, то эта структура естественным образом переносится и на его пополнение.

Примечания

↑ ¹ ² Шилов, 1961, с. 40.

Литература

Зорич В.А. Математический анализ. — Т. 2. IX, §5.
Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.

[_7dfce6b0f849658d-1] ¹ ² Шилов, 1961, с. 40.

[1]