Связанные состояния в континууме (Vfx[guudy vkvmkxunx f tkumnurrby)

Схематичное изображение энергетических уровней и примеры различных состояний. Показаны состояния, принадлежащие дискретному спектру (зеленым), резонансные состояния (синий пунктир)^[1] и связанные состояния в континууме (красным). Частично воспроизведено из^[2] и^[3]

Связанные состояния в континууме (ССК) или локализованные состояния в континууме (ЛСК), англ. bound state in the continuum (BIC) — это собственное состояние какой-либо квантовомеханической или другой открытой системы, обладающее следующими свойствами:

Энергия лежит в области непрерывного спектра (континуума) распространяющихся мод окружающего пространства;
Состояние не взаимодействует ни с одним из состояний континуума (не может излучать плоскую, цилиндрическую или сферическую волну и не может возбуждаться никакой волной), а значит обладает бесконечным временем жизни (добротностью) и вещественной энергией в отсутствие безызлучательных потерь.

В силу волновой природы, этот феномен наблюдается не только в квантовой механике, но также в фотонике, в теории упругости и т.д. Связанные состояния в запрещённой зоне, где нет конечных решений на бесконечности, широко известны (атомы, квантовые точки, дефекты в полупроводниках). Однако, CCK не следует путать с обычными связанными состояниями. Для решений в континууме, которые связаны с этим континуумом, известны резонансные^[1] состояния, которые распадаются (теряют энергию) со временем. Они могут возбуждаться падающей волной с той же энергией, и к ним относятся, например, собственные моды открытых оптических резонаторов^[4]. В отличие от резонансных состояний, связанные состояния в континууме имеют вещественные собственные значения энергии и поэтому не взаимодействуют с состояниями непрерывного спектра и не могут распадаться^[2]. Кроме того, ССК не следует путать с собственными состояниями таких систем как потенциальная яма с бесконечными стенками или резонатор с идеально проводящими стенками, поскольку такие системы не являются открытыми по определению.

Классификация

Классификация локализованных состояний в континууме по механизму возникновения^[2]
Тип ССК	Объяснение, подтипы	Примеры
ССК, возникающие при решении «обратной задачи»	1) ССК Вигнера — фон Неймана (Potential engineering): волновая функция одного из состояний континуума модифицируется так, чтобы быть нормируемой, и для неё подбирается соответствующий потенциал. 2) Модифицирование амплитуды перескока (англ. Hopping rate engineering): В приближении сильной связи скорости перескока модифицируются таким образом, чтобы состояние стало локализованным 3) Модифицирование формы границ: источники в ССК, например, Фабри — Перо типа заменяются на рассеиватели таким образом, чтобы создавать ССК того же типа.	1) В работе фон Неймана и Вигнера^[5] рассматривается два типа сферически-симметричных потенциалов, при этом в потенциале $V(r)={\frac {2}{r^{2}}}-9r^{4}$ локализация происходит за счет «отражения» от бесконечности (т.к. на бесконечность материальная точка уходит за конечное время, скатываясь с этого потенциала, и вероятность нахождения там стремится к нулю). Аналогичный пример в 1D рассматривает экспоненциальную зависимость потенциала^[6]. Второй тип потенциала^[7]^[8] имеет сложную форму, но при этом периодически модулируется с периодом $\pi$ . Волновая функция с периодом $2\pi$ отражается от такого потенциала в центр по аналогии с отражением от брэгговского зеркала. В одномерном случае такие потенциалы могут быть реализованы с помощью сверхрешеток^[9]^[10]. 2) ССК второго типа были реализованы в массиве связанных оптических волноводов^[11], при этом амплитуда перескока модулируется расстоянием между волноводами. Экспериментально было реализовано состояние с амплитудами $\kappa _{n}=\left\{{\begin{array}{ll}\kappa &n\neq 2l\\\left({\frac {l+1}{l}}\right)\kappa &n=2l,(l=1,2,3,\ldots )\end{array}}\right.$ в системе из 40 волноводов. Также, существуют примеры ССК в решетках с PT-симметрией^[12]^[13]. 3) ССК третьего типа в наблюдаются в волнах на воде^[14]^[15]^[16]^[17].
ССК, возникающие при изменении параметров (parameter tuning)	1) Фабри — Перо ССК: Для резонансных структур коэффициент отражения вблизи резонанса может достигать единицы. Две такие структуры можно расположить таким образом, чтобы они излучали в противофазе и компенсировали друг друга. 2) ССК Фридриха — Винтгена(Friedrich-Wintgen)^[18]: Две моды одинаковой симметрии одной и той же структуры сближаются при изменении параметров структуры, и в какой-то момент возникает антипересечение. При этом на одной из ветвей образуется ССК так как моды как бы компенсируют друг друга, находясь в противофазе и излучая в один и тот же радиационный канал^[19]. 3) Параметрические ССК на одиночном резонансе (Single-resonance parametric BICs): Возникают тогда, когда одну моду можно представить в виде суммы вкладов^[20], каждый из которых меняется в зависимости от параметров структуры. В какой-то момент происходит деструктивная интерференция всех вкладов.	1) Помимо волн на воде, упомянутых выше, состояния этого типа встречаются во многих системах, например, в системах пар квантовых точек, связанных с волноводом ^[21]^[22], двойных цепочках из атомов меди^[23], пар волноводов Z- и П- формы ^[24] В фотонике состояния реализуются, например, в парах двумерных фотонных кристаллов на основе планарных оптических волноводов^[25], двойных массивах диэлектрических цилиндров^[26] и т. п.^[27] 2) ССК Фридриха — Винтгена (ФВ ССК) рассматривались в атоме водорода в магнитном поле^[28] и экспериментально проявлялись в подавлении автоионизации атома бария^[29], топологических изоляторах с дефектом^[30] и многих других квантовых системах^[31]^[32]. Также этот тип ССК встречается в двумерных и трехмерных цилиндрических открытых акустических резонаторах^[33]^[34]. В фотонике случайные (accidental) ССК в периодических структурах могут иногда появляться как ФВ ССК^[35]^[36], также моды такого типа появлялись в брэгговском волноводе при взаимодействии ТЕ и ТМ волн через анизотропную среду^[37]. Примечательным примером является теоретическая реализация ССК на слоистой сферической наночастице из специфически подобранных материалов^[38]^[39], при этом ССК появляются за счет взаимодействия различных дипольных мод одной и той же частицы. По тому же механизму могут быть реализованы высокодобротные состояния и в несферических диэлектрических резонаторах^[40]^[41], но в этом случае моды состоят из бесконечного числа мультиполей^[42], а добротность не уходит полностью в бесконечность. 3) ССК этого типа, в основном, рассматриваются в планарных фотонных кристаллах^[43] и также являются случайными (accidental BICs). Они могут возникать, когда структура, лежащая в плоскости $xy$ , обладает элементами симметрии ${C_{2}}^{z}$ и $\sigma _{z}$ ^[44], однако их существование не гарантируется симметрией, они возникают при определённых параметрах структуры. Помимо фотонных периодических структур^[45]^[46], ССК встречаются для волн на воде^[47], квантовых волноводах^[48], механических резонаторах^[49], в виде поверхностных волн^[50] и др.
Симметрийно-защищенные ССК	Возникают, когда симметрия собственного состояния отличается от любой из возможных симметрий распространяющихся мод в континууме.	В простом случае, состояния такого типа наблюдаются в Г-точке планарных фотонных кристаллов, обладающих симметрией ${C_{n}}^{z}$ ^[51]^[52]^[53]. Часто, в тех же самых структурах существуют и другие типы ССК. Также симметрийно-защищенные ССК наблюдались в системах связанных волноводов.^[54]^[55]
Разделяемые ССК (separable BICs)	Возникают в случае, когда задача на собственные значения решается методом разделения переменных, а волновая функция представима, например, в виде $\psi =\psi _{1}(x)\psi _{2}(y)$ , где оба множителя соответствуют локализованным состояниям, при этом суммарная энергия лежит в континууме.	Гамильтониан для получения этого типа ССК был впервые предложен Робником^[56] и затем изучался в различных квантовых системах^[57]^[58] и двумерных фотонных структурах^[59]^[60]

ССК Вигнера — фон Неймана

Впервые связанные состояния в континууме были предсказаны в 1929 году в работе Юджина Вигнера и Джона фон Неймана^[5]. Были рассмотрены два потенциала, в которых существует ССК, появляющееся по двум различным причинам.

В этой работе сначала выбирается сферически-симметричная волновая функция таким образом, чтобы быть квадратично-интегрируемой по всему пространству. Затем подбирается такой потенциал, чтобы эта волновая функция соответствовала нулевому значению энергии.

Потенциал является сферически-симметричным, тогда волновое уравнение запишется следующим образом:

-{\frac {h^{2}}{8\pi ^{2}m}}\Delta \psi +(V(r)-E)\psi =0,

при этом исчезают производные по углам, так как мы ограничиваемся рассмотрением только сферически-симметричных волновых функций:

\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}},

Для того, чтобы $E=0$ была собственным значением для сферически-симметричной волновой функции $\psi =\psi (r)$ , потенциал должен быть

V={\frac {h^{2}}{8\pi ^{2}m}}\left({\frac {\psi ^{\prime \prime }}{\psi }}+{\frac {2\psi ^{\prime }}{r\psi }}\right)

.

Получим конкретные значения $\psi$ и $V$ , для которых будет наблюдаться ССК.

Первый случай

Потенциал и волновая функция, соответствующая нулевой энергии, для первого случая ССК Вигнера-фон Неймана

Рассмотрим функцию $\psi =r^{\alpha }{\sin r^{\beta }}$ . Поскольку интеграл $\int _{0}^{\infty }4\pi r^{2}|\psi (r)|^{2}{\text{d}}r=\int _{0}^{\infty }4\pi r^{2\alpha +2}{\sin ^{2}r^{\beta }}{\text{d}}r$ должен быть конечным, то рассматривая поведение при $r=0$ , получим, что $2\alpha +\beta +2>-1$ , рассматривая поведение при $r=\infty$ , получим, что $2\alpha +2<-1$ . Регулярность $V(r)$ для $r\neq 0$ требует $2\alpha +\beta +1=0$ . В итоге получаем $\alpha =-2,\ \beta =3$ .

Положим $\psi (r)={\frac {\sin r^{3}}{r^{2}}}$ , тогда потенциал будет равен (отбросив несущественный множитель ${h^{2}}/{8\pi ^{2}m}$ ):

V(r)={\frac {2}{r^{2}}}-9r^{4}

Собственная функция и потенциальная кривая показаны на рисунке. Кажется, что электрон просто скатится с потенциала и энергия будет принадлежать сплошному спектру, однако существует стационарная орбита с $E=0$ .

В работе^[5] дана следующая интерпретация: такое поведение можно понять, исходя из аналогии с классической механикой (соображения принадлежат Лео Силарду). Движение материальной точки в потенциале $V={\frac {2}{r^{2}}}-9r^{4}$ описывается следующим уравнением:

{{\frac {m}{2}}\left({\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+V(r)=\mathrm {Const} }

{{\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}={\sqrt {{\frac {2}{m}}\mathrm {Const} -{\frac {4}{m}}{\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {18}{m}}r^{4}}}}

Легко понять, что когда $r\rightarrow \infty$ , ${\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}\rightarrow \infty$ , и тогда асимптотика

{\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}={\frac {3{\sqrt {2}}}{\sqrt {m}}}r^{2};\ \ \ \ \ \ \ {\frac {1}{r}}={\frac {3{\sqrt {2}}}{\sqrt {m}}}\left(t_{0}-t\right),\ \

r={\frac {\sqrt {m}}{3{\sqrt {2}}\left(t_{0}-t\right)}}

то есть, за конечное время $t=t_{0}$ точка уходит на бесконечность. Cтационарное решение $\psi (r)$ означает, что точка снова возвращается из бесконечности, что она оттуда как будто отражается и начинает колебаться. То, что $\psi (r)$ при $r=\infty$ стремится к нулю, следует из того, что она скатывается с большой потенциальной горки и обладает огромной скоростью, а значит коротким временем жизни. И поскольку весь колебательный процесс (из $r_{min}$ на бесконечность и обратно) периодический, то логично, что эта квантово-механическая задача обладает стационарным решением.

Второй случай

a) Потенциал и волновая функция (в произвольном масштабе по вертикальной оси), соответствующая нулевой энергии, для второго случая ССК Вигнера фон-Неймана, $A=1.5$ b) $A=15$ .

Перейдем ко второму примеру, который уже нельзя интерпретировать из таких соображений.

Для начала, возьмем функцию $\psi ={\frac {\sin r}{r}}$ , тогда $V=-1$ . Это расходящиеся сферические волны, поскольку энергия $E=0$ больше, чем потенциал $V=-1$ , классическая кинетическая энергия остается положительной. Волновая функция принадлежит непрерывному спектру, интеграл $\int _{0}^{\infty }4\pi r^{2}|\psi (r)|^{2}{\text{d}}r=4\pi \int _{0}^{\infty }\sin ^{2}r{\text{d}}r$ расходится. Попробуем поменять волновую функцию таким образом, чтобы квадратичный интеграл сошелся, а потенциал варьировался вблизи −1.

Рассмотрим следующий анзац:

\psi ={\frac {\sin r}{r}}f(r)

Если функция $f(r)$ непрерывна, и при $r\rightarrow \infty$ асимптотика равна $r^{\alpha },\ \ \alpha <-1/2$ , то интеграл будет конечным. Потенциал при этом будет равен (с исправленной арифметической ошибкой в оригинальной статье)^[61]:

V=-1+2\operatorname {ctg} r{\frac {f^{\prime }(r)}{f(r)}}+{\frac {f^{\prime \prime }(r)}{f(r)}}.

Для того, чтобы потенциал оставался вблизи −1, и при $r\rightarrow \infty$ стремился к −1, мы должны функции $\operatorname {ctg} r{\frac {f^{\prime }(r)}{f(r)}},\ {\frac {f^{\prime \prime }(r)}{f(r)}}$ сделать малыми и при $r\rightarrow \infty$ устремить к нулю.

В первом случае также ${\frac {f^{\prime }(r)}{f(r)}}$ должна исчезать для $\operatorname {ctg} r=\infty$ , а именно для $r=0,\pi ,\ 2\pi ,\ 2\pi ,\dots$ , то есть для $\sin r=0$ . Это случай, когда $f(r)=\int _{0}^{r}\sin ^{2}r{\text{d}}r={\frac {r}{2}}-{\frac {1}{4}}\sin 2r$ или любая другая функция этого выражения.

Положим $f(r)=[A^{2}+({\frac {r}{2}}-{\frac {1}{4}}\sin 2r)^{2}]^{-1}$ , где $A$ произвольна (здесь $f(r)$ при $r\rightarrow \infty$ стремится к $r^{\alpha },\ \ \alpha <-1/2$ ). Тогда

\psi ={\frac {\sin r}{r(A^{2}+(2r-\sin 2r)^{2})}}.

Выражение для потенциала является громоздким, но из графиков видно, что для $r\rightarrow \infty$ потенциал стремится к −1. Кроме того, оказывается, что для любого $\varepsilon >0$ можно выбрать такое A, что потенциал будет находиться между $-1-\varepsilon$ и $-1+\varepsilon$ . Можно видеть, что потенциал колеблется с периодом $\pi$ , а волновая функция — с периодом $2\pi$ . Получается, что все отраженные волны от «горбов» такого потенциала находятся в фазе, и функция локализуется в центре, отражаясь от потенциала по механизму, похожему на отражение от брэгговского зеркала.

Примечания

↑ ¹ ² Maheswari, A. U., Prema, P., & Shastry, C. S. (2010). Resonant states and transmission coefficient oscillations for potential wells and barriers. American Journal of Physics, 78(4), 412—417(https://doi.org/10.1119/1.3276053)
↑ ¹ ² ³ Hsu, C., Zhen, B., Stone, A. et al. Связанные состояния в континууме // Nat. Rev. Mater.. — 2016. — Т. 1. — С. 16048. — doi:10.1038/natrevmats.2016.48.
↑ Koshelev, K.; Bogdanov, A.; Kivshar, Y. Engineering with bound states in the continuum. Opt. Photonics News 2020, 31, 38−45
↑ Lalanne, Philippe, et al. "Light Interaction with Photonic and Plasmonic Resonances." Laser Photonics Rev., vol. 12, no. 5, 1 May. 2018, p. 1700113
↑ ¹ ² ³ J. von Neumann, E.P. Wigner. Über merkwürdige diskrete Eigenwerte // Phys. Z.. — 1929. — Т. 30. — С. 465—467.
↑ Zafar Ahmed et al 2019 Phys. Scr. 94 105214
↑ Simon, B. On positive eigenvalues of one-body Schrödinger operators. Commun. Pure Appl. Math. 22, 531–538 (1969)
↑ Stillinger, F. H. & Herrick, D. R. Bound states in the continuum. Phys. Rev. A 11, 446–454 (1975)
↑ D. R. Herrick, “Construction of bound states in the continuum for epitaxial heterostructure superlattices”, Physica B 85, 44-50 (1977).
↑ Molina, M. I., Miroshnichenko, A. E. & Kivshar, Y. S. Surface bound states in the continuum. Phys. Rev. Lett. 108, 070401 (2012)
↑ Corrielli, G., Della Valle, G., Crespi, A., Osellame, R. & Longhi, S. Observation of surface states with algebraic localization. Phys. Rev. Lett. 111, 220403 (2013)
↑ Stefano Longhi. Non-Hermitian tight-binding network engineering. Phys. Rev. A 93, 022102
↑ Stefano Longhi, "Bound states in the continuum in PT-symmetric optical lattices, " Opt. Lett. 39, 1697—1700 (2014)
↑ McIver, M. An example of non-uniqueness in the two-dimensional linear water wave problem. J. Fluid Mech. 315, 257—266 (1996)
↑ Kuznetsov, N. & McIver, P. On uniqueness and trapped modes in the water-wave problem for a surface-piercing axisymmetric body. Q. J. Mech. Appl. Math. 50, 565—580 (1997)
↑ Porter, R. & Evans, D. V. Water-wave trapping by floating circular cylinders. J. Fluid Mech. 633, 311—325 (2009).
↑ Cobelli, P., Pagneux, V., Maurel, A., & Petitjeans, P. (2011). Experimental study on water-wave trapped modes. Journal of Fluid Mechanics, 666, 445—476. doi:10.1017/S0022112010004222
↑ Friedrich, H. & Wintgen, D. Interfering resonances and bound states in the continuum. Phys. Rev. A 32, 3231-3242 (1985)
↑ Remacle, F., Munster, M., Pavlov-Verevkin, V. B., & Desouter-Lecomte, M. (1990). Trapping in competitive decay of degenerate states. Physics Letters A, 145(5), 265—268. doi:10.1016/0375-9601(90)90361-q (https://doi.org/10.1016/0375-9601(90)90361-q)
↑ Gao, X., Hsu, C., Zhen, B. et al. Formation mechanism of guided resonances and bound states in the continuum in photonic crystal slabs. Sci Rep 6, 31908 (2016). https://doi.org/10.1038/srep31908
↑ Cattapan, G. & Lotti, P. Bound states in the continuum in two-dimensional serial structures. Eur. Phys. J. B 66, 517–523 (2008)
↑ Sadreev, A. F., Bulgakov, E. N. & Rotter, I. Trapping of an electron in the transmission through two quantum dots coupled by a wire. JETP Lett. 82, 498–503 (2005)
↑ Díaz-Tendero, S., Borisov, A. G. & Gauyacq, J.-P. Extraordinary electron propagation length in a metallic double chain supported on a metal surface. Phys. Rev. Lett. 102, 166807 (2009)
↑ Sadreev, A. F., Maksimov, D. N. & Pilipchuk, A. S. Gate controlled resonant widths in double-bend waveguides: bound states in the continuum. J. Phys. Condens. Matter 27, 295303 (2015).
↑ Suh, W., Yanik, M. F., Solgaard, O. & Fan, S. Displacement-sensitive photonic crystal structures based on guided resonance in photonic crystal slabs. Appl. Phys. Lett. 82, 1999—2001 (2003)
↑ Ndangali, R. F. & Shabanov, S. V. Electromagnetic bound states in the radiation continuum for periodic double arrays of subwavelength dielectric cylinders. J. Math. Phys. 51, 102901 (2010)
↑ A. M. Chernyak, M. G. Barsukova, A. S. Shorokhov, A. I. Musorin, and A. A. Fedyanin. Bound States in the Continuum in Magnetophotonic Metasurfaces (англ.) // JETP Letters. — 2020. — Vol. 111, no. 1. — P. 46–49.
↑ Friedrich, H. & Wintgen, D. Physical realization of bound states in the continuum. Phys. Rev. A 31, 3964-3966 (1985)
↑ Neukammer, J., Rinneberg, H., Jönsson, G., Cooke, W. E., Hieronymus, H., König, A., Spinger-Bolk, H. (1985). Autoionization Inhibited by Internal Interferences. Physical Review Letters, 55(19), 1979—1982. (https://doi.org/10.1103/physrevlett.55.1979)
↑ Sablikov, V. A. & Sukhanov, A. A. Helical bound states in the continuum of the edge states in two dimensional topological insulators. Phys. Lett. A 379, 1775—1779 (2015)
↑ Sadreev, A. F., Bulgakov, E. N. & Rotter, I. Bound states in the continuum in open quantum billiards with a variable shape. Phys. Rev. B 73, 235342 (2006)
↑ Texier, C. Scattering theory on graphs: II. The Friedel sum rule. J. Phys. A 35, 3389 (2002).
↑ Hein, S., Koch, W. & Nannen, L. Trapped modes and Fano resonances in two-dimensional acoustical duct-cavity systems. J. Fluid Mech. 692, 257—287 (2012)
↑ Lyapina, A. A., Maksimov, D. N., Pilipchuk, A. S. & Sadreev, A. F. Bound states in the continuum in open acoustic resonators. J. Fluid Mech. 780, 370—387 (2015)
↑ Bulgakov, E. N., & Maksimov, D. N. (2018). Avoided crossings and bound states in the continuum in low-contrast dielectric gratings. Physical Review A, 98(5). doi:10.1103/physreva.98.053840
↑ Lee, S., Kim, S., & Kee, C. (2020). Bound states in the continuum (BIC) accompanied by avoided crossings in leaky-mode photonic lattices, Nanophotonics, 9(14), 4373-4380. doi: https://doi.org/10.1515/nanoph-2020-0346
↑ Pankin, P.S., Wu, BR., Yang, JH. et al. One-dimensional photonic bound states in the continuum. Commun Phys 3, 91 (2020). https://doi.org/10.1038/s42005-020-0353-z
↑ Embedded Photonic Eigenvalues in 3D Nanostructures. Francesco Monticone and Andrea Alù. Phys. Rev. Lett. 112, 213903 (2014)
↑ M. G. Silveirinha, Phys. Rev. A 89, 023813 (2014).
↑ Rybin, M. V., Koshelev, K. L., Sadrieva, Z. F., Samusev, K. B., Bogdanov, A. A., Limonov, M. F., & Kivshar, Y. S. (2017). High-Q Supercavity Modes in Subwavelength Dielectric Resonators. Physical Review Letters, 119(24). (https://doi.org/10.1103/physrevlett.119.243901)
↑ K. Koshelev et al., Science 367, 288—292 (2020).
↑ S. Gladyshev, K. Frizyuk, A. Bogdanov Phys. Rev. B 102, 075103 — Published 3 August 2020
↑ Hsu, C. W. et al. Observation of trapped light within the radiation continuum. Nature 499, 188—191 (2013)
↑ B. Zhen, C. W. Hsu, L. Lu, A. D. Stone, and M. Soljaˇci ́c, "Topological Nature of Optical Bound States in the Continuum, " Phys. Rev. Lett. 113, 257401 (2014)
↑ Porter, R. & Evans, D. V. Embedded Rayleigh-Bloch surface waves along periodic rectangular arrays. Wave Motion 43, 29-50 (2005).
↑ Bulgakov, E. N. & Sadreev, A. F. Light trapping above the light cone in a one-dimensional array of dielectric spheres. Phys. Rev. A 92, 023816 (2015)
↑ McIver, M., Linton, C. M., McIver, P., Zhang, J. & Porter, R. Embedded trapped modes for obstacles in two-dimensional waveguides. Q. J. Mech. Appl. Math. 54, 273—293 (2001).
↑ Linton, C. M. & Ratcliffe, K. Bound states in coupled guides. I. Two dimensions. J. Math. Phys. 45, 1359—1379 (2004).
↑ Chen, Y. et al. Mechanical bound state in the continuum for optomechanical microresonators. New J. Phys. 18, 063031 (2016)
↑ Yamanouchi, K. & Shibayama, K. Propagation and amplification of rayleigh waves and piezoelectric leaky surface waves in LiNbO3 . J. Appl. Phys. 43, 856—862 (1972).
↑ B. Zhen, C. W. Hsu, L. Lu, A. D. Stone, and M. Soljaˇci ́c, "Topological Nature of Optical Bound States in the Continuum, " Phys. Rev. Lett. 113, 257401 (2014).
↑ Z. Sadrieva, K. Frizyuk, M. Petrov, Yu. Kivshar, and A.Bogdanov «Multipolar origin of bound states in the continuum» Phys. Rev. B 100, 115303
↑ Lee, J. et al. Observation and differentiation of unique high-Q optical resonances near zero wave vector in macroscopic photonic crystal slabs. Phys. Rev. Lett. 109, 067401 (2012)
↑ Dreisow, F. et al. Adiabatic transfer of light via a continuum in optical waveguides. Opt. Lett. 34, 2405—2407 (2009)
↑ Plotnik, Y. et al. Experimental observation of optical bound states in the continuum. Phys. Rev. Lett. 107, 183901 (2011).
↑ Robnik, M. A simple separable Hamiltonian having bound states in the continuum. J. Phys. A 19, 3845 (1986).
↑ Duclos, P., Exner, P. & Meller, B. Open quantum dots: resonances from perturbed symmetry and bound states in strong magnetic fields. Rep. Math. Phys. 47, 253—267 (2001).
↑ Prodanovic´, N., Milanovic´, V., Ikonic´, Z., Indjin, D. & Harrison, P. Bound states in continuum: quantum dots in a quantum well. Phys. Lett. A 377, 2177—2181 (2013).
↑ Čtyroký, J. Photonic bandgap structures in planar waveguides. J. Opt. Soc. Am. A 18, 435—441 (2001).
↑ Watts, M. R., Johnson, S. G., Haus, H. A. & Joannopoulos, J. D. Electromagnetic cavity with arbitrary Q and small modal volume without a complete photonic bandgap. Opt. Lett. 27, 1785—1787 (2002).
↑ Stillinger, F. H. & Herrick, D. R. Bound states in the continuum. Phys. Rev. A 11, 446—454 (1975)

Литература

Hsu C., Zhen B., Stone A.D., Joannopoulos J.D., Soljačić M. Bound states in the continuum // Nature Reviews Materials. — 2016. — Vol. 1. — P. 16048. — doi:10.1038/natrevmats.2016.48.
Koshelev K., Bogdanov A., Kivshar Yu. Engineering with Bound States in the Continuum // Optics and Photonics News. — 2020. — Vol. 31, № 1. — P. 38—45. — doi:10.1364/OPN.31.1.000038.
Azzam S.I., Kildishev A.V. Photonic Bound States in the Continuum: From Basics to Applications // Advanced Optical Materials. — 2020. — P. 2001469. — doi:10.1002/adom.202001469.
Sadreev A.F. Interference traps waves in open system: Bound states in the continuum // Reports on Progress in Physics. — 2021. — Vol. 84, № 5. — P. 055901. — doi:10.1088/1361-6633/abefb9. — arXiv:2011.01221.

[resonant-1] ¹ ² Maheswari, A. U., Prema, P., & Shastry, C. S. (2010). Resonant states and transmission coefficient oscillations for potential wells and barriers. American Journal of Physics, 78(4), 412—417(https://doi.org/10.1119/1.3276053)

[hsu-2] ¹ ² ³ Hsu, C., Zhen, B., Stone, A. et al. Связанные состояния в континууме // Nat. Rev. Mater.. — 2016. — Т. 1. — С. 16048. — doi:10.1038/natrevmats.2016.48.

[3] Koshelev, K.; Bogdanov, A.; Kivshar, Y. Engineering with bound states in the continuum. Opt. Photonics News 2020, 31, 38−45

[4] Lalanne, Philippe, et al. "Light Interaction with Photonic and Plasmonic Resonances." Laser Photonics Rev., vol. 12, no. 5, 1 May. 2018, p. 1700113

[wigner-5] ¹ ² ³ J. von Neumann, E.P. Wigner. Über merkwürdige diskrete Eigenwerte // Phys. Z.. — 1929. — Т. 30. — С. 465—467.

[6] Zafar Ahmed et al 2019 Phys. Scr. 94 105214

[7] Simon, B. On positive eigenvalues of one-body Schrödinger operators. Commun. Pure Appl. Math. 22, 531–538 (1969)

[8] Stillinger, F. H. & Herrick, D. R. Bound states in the continuum. Phys. Rev. A 11, 446–454 (1975)

[9] D. R. Herrick, “Construction of bound states in the continuum for epitaxial heterostructure superlattices”, Physica B 85, 44-50 (1977).

[10] Molina, M. I., Miroshnichenko, A. E. & Kivshar, Y. S. Surface bound states in the continuum. Phys. Rev. Lett. 108, 070401 (2012)

[11] Corrielli, G., Della Valle, G., Crespi, A., Osellame, R. & Longhi, S. Observation of surface states with algebraic localization. Phys. Rev. Lett. 111, 220403 (2013)

[12] Stefano Longhi. Non-Hermitian tight-binding network engineering. Phys. Rev. A 93, 022102

[13] Stefano Longhi, "Bound states in the continuum in PT-symmetric optical lattices, " Opt. Lett. 39, 1697—1700 (2014)

[14] McIver, M. An example of non-uniqueness in the two-dimensional linear water wave problem. J. Fluid Mech. 315, 257—266 (1996)

[15] Kuznetsov, N. & McIver, P. On uniqueness and trapped modes in the water-wave problem for a surface-piercing axisymmetric body. Q. J. Mech. Appl. Math. 50, 565—580 (1997)

[16] Porter, R. & Evans, D. V. Water-wave trapping by floating circular cylinders. J. Fluid Mech. 633, 311—325 (2009).

[17] Cobelli, P., Pagneux, V., Maurel, A., & Petitjeans, P. (2011). Experimental study on water-wave trapped modes. Journal of Fluid Mechanics, 666, 445—476. doi:10.1017/S0022112010004222

[18] Friedrich, H. & Wintgen, D. Interfering resonances and bound states in the continuum. Phys. Rev. A 32, 3231-3242 (1985)

[19] Remacle, F., Munster, M., Pavlov-Verevkin, V. B., & Desouter-Lecomte, M. (1990). Trapping in competitive decay of degenerate states. Physics Letters A, 145(5), 265—268. doi:10.1016/0375-9601(90)90361-q (https://doi.org/10.1016/0375-9601(90)90361-q)

[20] Gao, X., Hsu, C., Zhen, B. et al. Formation mechanism of guided resonances and bound states in the continuum in photonic crystal slabs. Sci Rep 6, 31908 (2016). https://doi.org/10.1038/srep31908

[21] Cattapan, G. & Lotti, P. Bound states in the continuum in two-dimensional serial structures. Eur. Phys. J. B 66, 517–523 (2008)

[22] Sadreev, A. F., Bulgakov, E. N. & Rotter, I. Trapping of an electron in the transmission through two quantum dots coupled by a wire. JETP Lett. 82, 498–503 (2005)

[23] Díaz-Tendero, S., Borisov, A. G. & Gauyacq, J.-P. Extraordinary electron propagation length in a metallic double chain supported on a metal surface. Phys. Rev. Lett. 102, 166807 (2009)

[24] Sadreev, A. F., Maksimov, D. N. & Pilipchuk, A. S. Gate controlled resonant widths in double-bend waveguides: bound states in the continuum. J. Phys. Condens. Matter 27, 295303 (2015).

[25] Suh, W., Yanik, M. F., Solgaard, O. & Fan, S. Displacement-sensitive photonic crystal structures based on guided resonance in photonic crystal slabs. Appl. Phys. Lett. 82, 1999—2001 (2003)

[26] Ndangali, R. F. & Shabanov, S. V. Electromagnetic bound states in the radiation continuum for periodic double arrays of subwavelength dielectric cylinders. J. Math. Phys. 51, 102901 (2010)

[27] A. M. Chernyak, M. G. Barsukova, A. S. Shorokhov, A. I. Musorin, and A. A. Fedyanin. Bound States in the Continuum in Magnetophotonic Metasurfaces (англ.) // JETP Letters. — 2020. — Vol. 111, no. 1. — P. 46–49.

[28] Friedrich, H. & Wintgen, D. Physical realization of bound states in the continuum. Phys. Rev. A 31, 3964-3966 (1985)

[29] Neukammer, J., Rinneberg, H., Jönsson, G., Cooke, W. E., Hieronymus, H., König, A., Spinger-Bolk, H. (1985). Autoionization Inhibited by Internal Interferences. Physical Review Letters, 55(19), 1979—1982. (https://doi.org/10.1103/physrevlett.55.1979)

[30] Sablikov, V. A. & Sukhanov, A. A. Helical bound states in the continuum of the edge states in two dimensional topological insulators. Phys. Lett. A 379, 1775—1779 (2015)

[31] Sadreev, A. F., Bulgakov, E. N. & Rotter, I. Bound states in the continuum in open quantum billiards with a variable shape. Phys. Rev. B 73, 235342 (2006)

[32] Texier, C. Scattering theory on graphs: II. The Friedel sum rule. J. Phys. A 35, 3389 (2002).

[33] Hein, S., Koch, W. & Nannen, L. Trapped modes and Fano resonances in two-dimensional acoustical duct-cavity systems. J. Fluid Mech. 692, 257—287 (2012)

[34] Lyapina, A. A., Maksimov, D. N., Pilipchuk, A. S. & Sadreev, A. F. Bound states in the continuum in open acoustic resonators. J. Fluid Mech. 780, 370—387 (2015)

[35] Bulgakov, E. N., & Maksimov, D. N. (2018). Avoided crossings and bound states in the continuum in low-contrast dielectric gratings. Physical Review A, 98(5). doi:10.1103/physreva.98.053840

[36] Lee, S., Kim, S., & Kee, C. (2020). Bound states in the continuum (BIC) accompanied by avoided crossings in leaky-mode photonic lattices, Nanophotonics, 9(14), 4373-4380. doi: https://doi.org/10.1515/nanoph-2020-0346

[37] Pankin, P.S., Wu, BR., Yang, JH. et al. One-dimensional photonic bound states in the continuum. Commun Phys 3, 91 (2020). https://doi.org/10.1038/s42005-020-0353-z

[38] Embedded Photonic Eigenvalues in 3D Nanostructures. Francesco Monticone and Andrea Alù. Phys. Rev. Lett. 112, 213903 (2014)

[39] M. G. Silveirinha, Phys. Rev. A 89, 023813 (2014).

[40] Rybin, M. V., Koshelev, K. L., Sadrieva, Z. F., Samusev, K. B., Bogdanov, A. A., Limonov, M. F., & Kivshar, Y. S. (2017). High-Q Supercavity Modes in Subwavelength Dielectric Resonators. Physical Review Letters, 119(24). (https://doi.org/10.1103/physrevlett.119.243901)

[41] K. Koshelev et al., Science 367, 288—292 (2020).

[42] S. Gladyshev, K. Frizyuk, A. Bogdanov Phys. Rev. B 102, 075103 — Published 3 August 2020

[43] Hsu, C. W. et al. Observation of trapped light within the radiation continuum. Nature 499, 188—191 (2013)

[44] B. Zhen, C. W. Hsu, L. Lu, A. D. Stone, and M. Soljaˇci ́c, "Topological Nature of Optical Bound States in the Continuum, " Phys. Rev. Lett. 113, 257401 (2014)

[45] Porter, R. & Evans, D. V. Embedded Rayleigh-Bloch surface waves along periodic rectangular arrays. Wave Motion 43, 29-50 (2005).

[46] Bulgakov, E. N. & Sadreev, A. F. Light trapping above the light cone in a one-dimensional array of dielectric spheres. Phys. Rev. A 92, 023816 (2015)

[47] McIver, M., Linton, C. M., McIver, P., Zhang, J. & Porter, R. Embedded trapped modes for obstacles in two-dimensional waveguides. Q. J. Mech. Appl. Math. 54, 273—293 (2001).

[48] Linton, C. M. & Ratcliffe, K. Bound states in coupled guides. I. Two dimensions. J. Math. Phys. 45, 1359—1379 (2004).

[49] Chen, Y. et al. Mechanical bound state in the continuum for optomechanical microresonators. New J. Phys. 18, 063031 (2016)

[50] Yamanouchi, K. & Shibayama, K. Propagation and amplification of rayleigh waves and piezoelectric leaky surface waves in LiNbO3 . J. Appl. Phys. 43, 856—862 (1972).

[51] B. Zhen, C. W. Hsu, L. Lu, A. D. Stone, and M. Soljaˇci ́c, "Topological Nature of Optical Bound States in the Continuum, " Phys. Rev. Lett. 113, 257401 (2014).

[52] Z. Sadrieva, K. Frizyuk, M. Petrov, Yu. Kivshar, and A.Bogdanov «Multipolar origin of bound states in the continuum» Phys. Rev. B 100, 115303

[53] Lee, J. et al. Observation and differentiation of unique high-Q optical resonances near zero wave vector in macroscopic photonic crystal slabs. Phys. Rev. Lett. 109, 067401 (2012)

[54] Dreisow, F. et al. Adiabatic transfer of light via a continuum in optical waveguides. Opt. Lett. 34, 2405—2407 (2009)

[55] Plotnik, Y. et al. Experimental observation of optical bound states in the continuum. Phys. Rev. Lett. 107, 183901 (2011).

[56] Robnik, M. A simple separable Hamiltonian having bound states in the continuum. J. Phys. A 19, 3845 (1986).

[57] Duclos, P., Exner, P. & Meller, B. Open quantum dots: resonances from perturbed symmetry and bound states in strong magnetic fields. Rep. Math. Phys. 47, 253—267 (2001).

[58] Prodanovic´, N., Milanovic´, V., Ikonic´, Z., Indjin, D. & Harrison, P. Bound states in continuum: quantum dots in a quantum well. Phys. Lett. A 377, 2177—2181 (2013).

[59] Čtyroký, J. Photonic bandgap structures in planar waveguides. J. Opt. Soc. Am. A 18, 435—441 (2001).

[60] Watts, M. R., Johnson, S. G., Haus, H. A. & Joannopoulos, J. D. Electromagnetic cavity with arbitrary Q and small modal volume without a complete photonic bandgap. Opt. Lett. 27, 1785—1787 (2002).

[61] Stillinger, F. H. & Herrick, D. R. Bound states in the continuum. Phys. Rev. A 11, 446—454 (1975)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]