Распределение арксинуса (англ. arcsine distribution ) — распределение вероятностей , функция распределения которого имеет вид
F
(
x
)
=
2
π
arcsin
(
x
)
=
arcsin
(
2
x
−
1
)
π
+
1
2
{\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)={\frac {\arcsin(2x-1)}{\pi }}+{\frac {1}{2}}}
при 0 ⩽ x ⩽ 1, а плотность вероятности равна
f
(
x
)
=
1
π
x
(
1
−
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}
на (0, 1). Стандартное распределение арксинуса является частным случаем бета-распределения при α = β = 1/2. Таким образом, если
X
{\displaystyle X}
представляет собой стандартное распределение арксинуса, то
X
∼
Beta
(
1
2
,
1
2
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} \left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)}
.
Носитель с произвольными границами
Параметры
−
∞
<
a
<
b
<
∞
{\displaystyle -\infty <a<b<\infty }
Носитель
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
Плотность вероятности
f
(
x
)
=
1
π
(
x
−
a
)
(
b
−
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}}
Функция распределения
F
(
x
)
=
2
π
arcsin
(
x
−
a
b
−
a
)
{\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)}
Математическое ожидание
a
+
b
2
{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}
Медиана
a
+
b
2
{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}
Мода
x
∈
a
,
b
{\displaystyle x\in {a,b}}
Дисперсия
1
8
(
b
−
a
)
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{8}}(b-a)^{2}}
Коэффициент асимметрии
0
{\displaystyle 0}
Коэффициент эксцесса
−
3
2
{\displaystyle -{\tfrac {3}{2}}}
Распределение арксинуса можно обобщить на случай произвольного ограниченного носителя a ⩽ x ⩽ b с помощью простого преобразования
F
(
x
)
=
2
π
arcsin
(
x
−
a
b
−
a
)
{\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)}
при a ⩽ x ⩽ b . Плотность вероятности задаётся функцией
f
(
x
)
=
1
π
(
x
−
a
)
(
b
−
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}}
на (a , b ).
Обобщённое стандартное распределение арксинуса на (0, 1) с плотностью распределения
f
(
x
;
α
)
=
sin
π
α
π
x
−
α
(
1
−
x
)
α
−
1
{\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {\sin \pi \alpha }{\pi }}x^{-\alpha }(1-x)^{\alpha -1}}
представляет собой частный случай бета-распределения с параметрами
Beta
(
1
−
α
,
α
)
{\displaystyle \operatorname {Beta} (1-\alpha ,\alpha )}
.
Заметим, что при
α
=
1
/
2
{\displaystyle \alpha =1/2}
обобщённое распределение арксинуса приводится к указанному выше виду.
Распределение арксинуса замкнуто относительно сдвига и масштабирования на положительный множитель:
если
X
∼
Arcsine
(
a
,
b
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Arcsine} (a,b)}
, то
k
X
+
c
∼
Arcsine
(
a
k
+
c
,
b
k
+
c
)
.
{\displaystyle kX+c\sim \operatorname {Arcsine} (ak+c,bk+c).}
Квадрат распределения арксинуса на (−1, 1) обладает распределением арксинуса на (0, 1):
если
X
∼
Arcsine
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {Arcsine} (-1,1)}
, то
X
2
∼
Arcsine
(
0
,
1
)
.
{\displaystyle X^{2}\sim \operatorname {Arcsine} (0,1).}
Если U и V независимые и одинаково равномерно распределённые случайные величины на (−π, π), то
sin
(
U
)
{\displaystyle \sin(U)}
,
sin
(
2
U
)
{\displaystyle \sin(2U)}
,
−
cos
(
2
U
)
{\displaystyle -\cos(2U)}
,
sin
(
U
+
V
)
{\displaystyle \sin(U+V)}
и
sin
(
U
−
V
)
{\displaystyle \sin(U-V)}
обладают распределением
Arcsine
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle \operatorname {Arcsine} (-1,1)}
.
Если
X
{\displaystyle X}
— обобщённое распределение арксинуса с параметром
α
{\displaystyle \alpha }
на носителе [a , b ], тогда
X
−
a
b
−
a
∼
Beta
(
1
−
α
,
α
)
.
{\displaystyle {\frac {X-a}{b-a}}\sim \operatorname {Beta} (1-\alpha ,\alpha ).}
Rogozin, B.A. (2001) [1994], "A/a013160", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4