Прямая и обратная предельная теорема (Hjxbgx n kQjgmugx hjy;yl,ugx mykjybg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Важнейшими с точки зрения приложений характеристических функций к выводу асимптотических формул теории вероятностей являются две предельные теоремы — прямая и обратная. Эти теоремы устанавливают, что соответствие, существующее между функциями распределения и характеристическими функциями, не только взаимно однозначно, но и непрерывно.

Прямая и обратная предельная теорема

[править | править код]

Прямая предельная теорема

[править | править код]

Если последовательность функций распределения слабо сходится к функции распределения при , то последовательность соответствующих характеристических функций сходится поточечно к характеристической функции .

Иными словами

Если , то в каждой точке .

Обратная предельная теорема

[править | править код]

Пусть последовательность характеристических функций сходится поточечно к функции , непрерывной в точке 0. Тогда последовательность соответствующих функций распределения слабо сходится к функции и является характеристической функцией, соответствующей функции распределения .

Доказательство прямой предельной теоремы

[править | править код]

Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из второй теоремы Хелли и определения характеристической функции:

В качестве функции возьмем , а на и смотрим как на параметры.

Поточечную сходимость последовательности характеристических функций в этой теореме можно заменить равномерной сходимостью на любом компакте из .

Доказательство обратной предельной теоремы

[править | править код]

Пусть  — последовательность функций распределения соответствующих последовательности характеристических функций . Из первой теоремы Хелли следует, что существует слабо сходящаяся подпоследовательность

такая что

Докажем, что является функцией распределения. Для этого достаточно показать, что

Для доказательства понадобится следующее неравенство: пусть произвольная случайная величина,  — её характеристическая функция, тогда для любых и

Положим , тогда неравенство примет вид

Докажем неравенство . Из определения характеристической функции и теоремы Фубини следует

Так как функция непрерывна в точке и является поточечным пределом характеристических функций , то и для любого существует такое , что для всех удовлетворяющих неравенству выполнено

Из того, что при вытекает для всех и для

Из неравенств и следует, что для любых и , таких что

Из неравенств и имеем

,

для всех и . Из последнего неравенства в силу произвольности и получаем

то есть  — функция распределения. По прямой предельной теореме из доказанного следует

Но по условию теоремы

Следовательно

 — характеристическая функция, соответствующая функции распределения

Докажем теперь, что

Предположим противное, пусть

при . Тогда существует , причем и  — функции распределения

По прямой предельной теореме имеем

и по теореме единственности , но этого не может быть, так как

,

Следовательно

Теорема доказана.

Литература

[править | править код]
  • Лазакович Н.В., Сташуленок С.П., Яблонский О.Л. Курс теории вероятностей. — 2003. — 322 с.
  • Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. — 1982. — 244 с.