Между функциями распределения
и множеством их характеристических функций
существует взаимно однозначное соответствие.
В том числе теоремы Хелли показывают, что это соответствие не только взаимно однозначное, но и взаимно непрерывное.
Из всякой последовательности функций распределения
можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность.
Если
— непрерывная ограниченная функция на прямой и
то
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fbc820a962afca33ce00557d427990b0ec07e73)
Пусть
— всюду плотное на прямой счетное множество.
Из ограниченной последовательности
выбираем сходящуюся подпоследовательность
, предел которой обозначим ![{\displaystyle F\left(x_{1}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7acd137443a3b913dba40bc5371b6b1ef9e828b2)
Из ограниченной последовательности
выбираем сходящуюся подпоследовательность
и т. д.
Далее выбираем диагональную подпоследовательность
, для которой
для любой точки
По лемме отсюда вытекает
Если
на всюду плотном на прямой множестве
, то
может не быть функцией распределения. Например, если
при
и
при
то
Пусть
— точки непрерывности
.Докажем сначала, что
.
Пусть
. Разделим
точками непрерывности
функции
на такие отрезки
, что
для точек
.
Это сделать можно, так как
равномерно непрерывна на
, а точки непрерывности
расположены всюду плотно.
Определим ступенчатую функцию.
на
.
Тогда
![{\displaystyle \left|\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq \int _{a}^{b}\left|g\left(x\right)-g_{\varepsilon }\left(x\right)\right|dF_{n}\left(x\right)+\left|\int _{a}^{b}g_{\varepsilon }dF_{n}-\int _{a}^{b}g_{\varepsilon }dF\right|+\int _{a}^{b}\left|g\left(x\right)-g_{\varepsilon }\left(x\right)\right|dF\left(x\right)\leq }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f949181686a95685526ce8be8fc2f24f72667ba1)
![{\displaystyle \leq 2\varepsilon +{\mathsf {M}}\left[\sum _{k=1}^{N}\left[F_{n}\left(x_{k}\right)-F\left(x_{k}\right)-\left(F_{n}\left(x_{k-1}\right)-F\left(x_{k-1}\right)\right)\right]\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3669f761192394c3bb07d67a0019c2ed87619af)
где
.
При
последнее слагаемое может быть сделано как угодно малым, откуда и следует
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/787b87cd6a43072a406c12c6318257dd6ea983e9)
Для доказательства
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fbc820a962afca33ce00557d427990b0ec07e73)
выберем
таким, чтобы
и
и чтобы точки
были точками непрерывности ![{\displaystyle F\left(x\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca7eeff7b97ff078d508b6c2d926ab88ead83551)
Тогда, так как
можно выбрать
таким, что при
и ![{\displaystyle 1-F_{n}\left(X\right)<{\frac {\varepsilon }{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92127b2f594896b160cb48a14c62a0f224758b17)
Оценим разность
![{\displaystyle \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)\right|+\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/160798fbd1636ad56695fe04567bcf47c22bd273)
![{\displaystyle \leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+{\mathsf {M}}\varepsilon +{\frac {{\mathsf {M}}\varepsilon }{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d567030642a47d91daa344642c801e3ed0c7cdd)
На основании
заключаем, что правая часть
![{\displaystyle \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)\right|+\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/160798fbd1636ad56695fe04567bcf47c22bd273)
![{\displaystyle \leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+{\mathsf {M}}\varepsilon +{\frac {{\mathsf {M}}\varepsilon }{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d567030642a47d91daa344642c801e3ed0c7cdd)
может быть сделана сколь угодно малой, что и доказывает теорему.
- Севастьянов В.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. — 1982. — 254 с.