Преобразование Гаусса (HjykQjg[kfguny Igrvvg)

Эта статья об отображении единичного отрезка в себя; об отображении поверхности в сферу см. Отображение Гаусса.

В математике, преобразование Гаусса или отображение Гаусса — (измеримая) динамическая система на отрезке [0, 1], заданная отображением

$T\colon x\mapsto \{1/x\},$

где $\{\cdot \}$ обозначает дробную часть числа. Исследованная в конце XVIII — начале XIX века Гауссом, это одна из первых одномерных динамических систем.

Это преобразование «стирает» первое неполное частное в разложении числа в цепную дробь:

$T([0;a_{1},a_{2},a_{3},\dots ])=[0;a_{2},a_{3},\dots ].$

Кроме того, оно обладает эргодической инвариантной мерой, абсолютно непрерывной относительно меры Лебега:

$\mu ={\frac {1}{\ln 2}}\cdot {\frac {dx}{1+x}},\quad T_{*}\mu =\mu .$

Применение к этой мере эргодической теоремы Биркгофа — Хинчина влечёт существование постоянной Хинчина и утверждение о распределении элементов цепной дроби случайного числа $x\in [0,1]$ — статистика Гаусса — Кузьмина.

Литература

• Аникин В. М., Голубенцев А. Ф. Аналитические модели детерминированного хаоса. — М.: Физматлит, 2007. — 328 с. — ISBN 978-5-9221-0879-9.
• В. И. Арнольд. Цепные дроби. — М.: МЦНМО, 2000. — Т. 14. — 40 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 978-5-94057-441-5.
• John Derwent and Eric W. Weisstein. Gauss Map (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.