Поликруг (Hklntjri)

Обзорная статья: Области комплексного пространства

Стереографичес­кая проекция двумерного остова бикруга — двумерного тора. Остов вращается вокруг плоскости $(\operatorname {Re} z_{1},\,\operatorname {Im} z_{2})$

Поликру́г (англ. polydisc) — понятие комплексного анализа, раздела математики, одно из обобщений понятия круга; другое наиболее известное обобщение круга — шар. Поликруг радиуса $r$ с центром в точке $z_{0}$ — множество точек $z$ комплексного пространства $C^{n}$ произвольной размерности $n$

$\Delta (z_{0},\,r)=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon \|z-z_{0}\|<r\}=$

$=\{z=(r_{1},\,r_{2},\,\dots ,\,r_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\colon$

${\underset {k}{\max }}|z_{k}-z_{0k}|<r,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\}$.

Синонимы: полидиск; полицилиндр; шар в поликруговой метрике; шар в $\rho$-метрике.

Так определённый поликруг — это шар с центром $z_{0}$ в поликруговой $\rho$-метрике. Геометрически поликруг есть топологическое произведение $n$ плоских кругов

$\Delta (z_{0},\,r)=\Delta (z_{01},\,r)\times \Delta (z_{02},\,r)\times \cdots \times \Delta (z_{0n},\,r),$

$\Delta (z_{0k},\,r)=\{z_{k}\in \mathbb {C} \colon |z_{k}-z_{0k}|<r\},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n,$

радиуса $r$ с центрами в точках $z_{0k}$.

В общем случае поликруг векторного радиуса, или мультирадиуса, $\mathbf {r} =(r_{1},\,r_{2},\,\dots ,\,r_{n})$ с центром в точке $z_{0}$ — это множество точек

$\Delta (z_{0},\,\mathbf {r} )=\{z=(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\colon |z_{k}-z_{0k}|<r_{k},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\}$.

В общем случае поликруг есть геометрически топологическое произведение $n$ плоских кругов с разными радиусами $r_{k}$ и одним центром $z_{0}$:

$\Delta (z_{0},\,\mathbf {r} )=\Delta (z_{01},\,r_{1})\times \Delta (z_{02},\,r_{2})\times \cdots \times \Delta (z_{0n},\,r_{n}),$

$\Delta (z_{0k},\,r_{k})=\{z_{k}\in \mathbb {C} \colon |z_{k}-z_{0k}|<r_{k}\},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n,$

Единичный поликруг — поликруг с центром в начале координат, то есть $z_{0}=0$, и единичным радиусом, то есть $r=1$.

Граница поликруга

Граница поликруга — множество $\partial \Delta$ всех точек, обладающих следующими двумя свойствами:

• хотя бы одна координата $z_{k}$ принадлежит границе $k$-го круга;
• остальные координаты $z_{l},\,l\neq k,$ имеют произвольные значения в замкнутых кругах.

Граница $\partial \Delta$ поликруга $\Delta$ состоит естественным образом из $n$ множеств

$\Gamma _{k}=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon |z_{k}-z_{0k}|=r_{k},\,|z_{l}-z_{0l}|\leqslant r_{l},\,l\neq k\}$

размерности $2n-1$, поскольку на $2n$ координат любой точки $z$ накладывается одно вещественное условие $|z_{k}-z_{0k}|=r_{k}$. Следовательно, и вся граница $\partial \Delta =\bigcup _{k=1}^{n}\Gamma _{k}$ поликруга $(2n-1)$-мерна.

Остов поликруга — $n$ мерное пересечение всех множеств $\Gamma _{k}$

$\Gamma =\partial \Delta _{1}\times \partial \Delta _{2}\times \cdots \times \partial \Delta _{n}=$

$=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon |z_{k}-z_{0k}|=r_{k},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\},$

которое представляет собой топологическое произведение $n$ окружностей.

Бикруг

Стереографичес­кая проекция двумерного остова бикруга — двумерного тора. Остов вращается вокруг плоскости $(\operatorname {Re} z_{1},\,\operatorname {Im} z_{2})$

Определение бикруга

Бикруг (англ. duocylinder; double cylinder; bidisc) — поликруг размерности 2. Рассмотрим бикруг радиуса $r$ с центром в начале координат и единичным радиусом, определяемый следующим выражением:

$\Delta =\{z\in \mathbb {C} ^{2}\colon |z_{1}|<1,\,|z_{2}|<1\}$.

Бикруг есть четырёхмерное тело, получающееся как пересечение двух цилиндров

$(\operatorname {Re} z_{1})^{2}+(\operatorname {Im} z_{1})^{2}<1,\quad$ $(\operatorname {Re} z_{2})^{2}+(\operatorname {Im} z_{2})^{2}<1,$

если считать двумерное комплексное пространство четырёхмерным вещественным.

Граница бикруга

Граница такого бикруга есть трёхмерное тело $\partial \Delta =\Gamma _{1}\cup \Gamma _{2}$, причём

$\Gamma _{1}=\{|z_{1}|=1,\,|z_{2}|\leqslant 1\}$

тоже трёхмерное тело, которое можно представить в виде расслоения в однопараметрическое семейство кругов:

$\Gamma _{1}=\bigcup _{\theta =0}^{2\pi }\{z_{1}=e^{i\theta },\,|z_{2}|\leqslant 1\},$

а для тела $\Gamma _{2}$ всё аналогично.

Остов бикруга

Двумерный остов бикруга $\Gamma =\Gamma _{1}\cap \Gamma _{2}$ есть тор

$\Gamma =\{|z_{1}|=1,\,|z_{2}|=1\}$.

Действительно, рассмотрим отображение

$z_{1}=e^{i\theta _{1}},\,z_{2}=e^{i\theta _{2}},$

которое голоморфно преобразует на двумерный остов $\Gamma$ некоторый квадрат

$\{0\leqslant \theta _{1}\leqslant 2\pi ,\,0\leqslant \theta _{2}\leqslant 2\pi \},$

у которого, поскольку $e^{i(\theta _{k}+2\pi )}=e^{i\theta _{k}}$, отождествлены противоположные стороны, как показано на рисунке справа, то есть из квадрата склеен тор.

Этот тор $\Gamma$, как и граница бикруга, расслаивается на два однопараметрические семейства в данном случае окружностей

$\{z_{1}=e^{i\theta _{1}},\,|z_{2}|=1\},\quad \{z_{1}=1,\,|z_{2}|=e^{i\theta _{2}}\},$

$0\leqslant \theta _{1},\,\theta _{2}<2\pi ,$

и на рисунке справа показано по одному представителю этих двух семейств.

Также тор $\Gamma$ есть двумерная поверхность, получающаяся как пересечение поверхностей двух трёхмерных цилиндров

$(\operatorname {Re} z_{1})^{2}+(\operatorname {Im} z_{1})^{2}=1,\quad$ $(\operatorname {Re} z_{2})^{2}+(\operatorname {Im} z_{2})^{2}=1,$

если считать двумерное комплексное пространство четырёхмерным вещественным, и расположенная в $\mathbb {R} ^{4}$ на трёхмерной сфере

$(\operatorname {Re} z_{1})^{2}+(\operatorname {Im} z_{1})^{2}+(\operatorname {Re} z_{2})^{2}+(\operatorname {Im} z_{2})^{2}=2$.

Геометрическое представление бикруга

Один из способов геометрического представления бикруга следующий:

1) выбираем в двумерном комплексном пространстве $\mathbb {C} ^{2}$ трёхмерную сферу

$\{|z|={\sqrt {2}}\};$

2) на сфере фиксируем двумерный тор

$\Gamma =\{|z_{1}|=1,\,|z_{2}|=1\};$

3) на тор натягиваем два трёхмерных тела

$\Gamma _{1}=\{|z_{1}|=1,\,|z_{2}|\leqslant 1\},\quad$ $\Gamma _{2}=\{|z_{1}|\leqslant 1,\,|z_{2}|=1\},$

которые лежат в шаровом слое

$\{1\leqslant |z|\leqslant {\sqrt {2}}\};$

4) объединение $\Gamma _{1}\cup \Gamma _{2}$ этих двух трёхмерных тел ограничивает бикруг.

Полиобласть

Поликруг естественным образом обобщается на полиобласть.

Полиобласть $D=D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}$ — топологическое произведение $n$ следующих в общем случае многосвязных областей:

$D_{k}\subset \mathbb {C} ,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n.$

Граница $\partial D$ полиобласти $D$ состоит естественным образом из $n$ множеств

$\Gamma _{k}=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon \,z_{k}\in \partial D_{k},\,z_{l}\in {\overline {D_{l}}},\,l\neq k\},\quad$ $k=1,\,2,\,\dots ,\,n$

размерности $2n-1$.

Остов полиобласти $D$ — $n$ мерное пересечение всех множеств $\Gamma _{k}$

$\Gamma =\partial D_{1}\times \partial D_{2}\times \cdots \times \partial D_{n}=$

$=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon \,z_{k}\in \partial D_{k},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\},$

которое представляет собой топологическое произведение $n$ областей.

Источники

• Белошапка В. К. Курс лекций по комплексному анализу. М., 2005. 31 с., ил.
• Соломенцев Е. Д. Поликруг // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 405—406.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «Наука», 1976. 400 с.: ил.