Области комплексного пространства (KQlgvmn tkbhlytvukik hjkvmjguvmfg)

О́бласть (англ. domain; region) — открытое связное множество, то есть любая точка множества принадлежит ему вместе с её окрестностью (открытость), а любые две точки множества соединены непрерывной кривой (связность).

Комплексное пространство $\mathbb {C} ^{n}$ — пространство, точки которого — следующие упорядоченные наборы $n$ комплексных чисел:

$z=(z_{1},\,z_{2},\dots ,z_{n})=\{z_{k}\}.$

При $n=1$ получается комплексная плоскость $\mathbb {C}$, комплексное пространство $\mathbb {C} ^{n}$ размерности $n$ — это декартово произведение $n$ комплексных плоскостей:

$\mathbb {C} ^{n}=\underbrace {\mathbb {C} \times \mathbb {C} \times \cdots \times \mathbb {C} } _{n{\text{ раз}}}$.

Рассмотрим некоторые области комплексного пространства.

Шар

Основная статья: Шар

Шар радиуса $r$ с центром в точке $z_{0}$ — это множество точек

$B(a,\,r)=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon |z-z_{0}|<r\}$.

Это обычный евклидов шар. Граница $\partial B$ шара есть $(2n-1)$-мерная сфера

$S^{2n-1}=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon |z-z_{0}|=r\}$.

Поликруг

Основная статья: Поликруг

Поликру́г радиуса $r$ с центром в точке $z_{0}$ — множество точек

$\Delta (z_{0},\,r)=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon \|z-z_{0}\|<r\}=$

$=\{z=(r_{1},\,r_{2},\,\dots ,\,r_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\colon {\underset {k}{\max }}|z_{k}-z_{0k}|<r,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\}$.

Синонимы: полидиск; полицилиндр; шар в $\rho$-метрике.

Так определённый поликруг — это шар с центром $z_{0}$ в поликруговой $\rho$-метрике. Геометрически поликруг есть топологическое произведение $n$ плоских кругов

$\Delta (z_{0},\,r)=\Delta (z_{01},\,r)\times \Delta (z_{02},\,r)\times \cdots \times \Delta (z_{0n},\,r),$

$\Delta (z_{0k},\,r)=\{z_{k}\in \mathbb {C} \colon |z_{k}-z_{0k}|<r\},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n,$

радиуса $r$ с центрами в точках $z_{0k}$.

В общем случае поликруг векторного радиуса, или мультирадиуса, $\mathbf {r} =(r_{1},\,r_{2},\,\dots ,\,r_{n})$ с центром в точке $z_{0}$ — это множество точек

$\Delta (z_{0},\,\mathbf {r} )=\{z=(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\colon |z_{k}-z_{0k}|<r_{k},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\}$.

В общем случае поликруг есть геометрически топологическое произведение $n$ плоских кругов с разными радиусами $r_{k}$ и одним центром $z_{0}$:

$\Delta (z_{0},\,\mathbf {r} )=\Delta (z_{01},\,r_{1})\times \Delta (z_{02},\,r_{2})\times \cdots \times \Delta (z_{0n},\,r_{n}),$

$\Delta (z_{0k},\,r_{k})=\{z_{k}\in \mathbb {C} \colon |z_{k}-z_{0k}|<r_{k}\},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n,$

Единичный поликруг — поликруг с центром в начале координат, то есть $z_{0}=0$, и единичным радиусом, то есть $r=1$.

Источники

• Белошапка В. К. Курс лекций по комплексному анализу. М., 2005. 31 с., ил.
• Соломенцев Е. Д. Поликруг // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 405—406.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «Наука», 1976. 400 с.: ил.