Поле Якоби (Hkly XtkQn)

Поле Якоби — векторное поле вдоль геодезической $\gamma$ в римановом многообразии, описывающие разницу между этой геодезической и «бесконечно близкой» ей геодезической. Можно сказать, что все поля Якоби вдоль геодезической образуют касательное пространство к ней в пространстве всех геодезических.

Названы в честь Карла Густава Якоба Якоби.

Определение

Пусть $\gamma _{\tau }$ есть гладкое однопараметрическое семейство геодезических с $\gamma _{0}=\gamma$ , тогда поле

J(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}

называется полем Якоби.

Свойства

Поле Якоби J удовлетворяет уравнению Якоби:
$J''(t)+R(J(t),T(t))T(t)=0,$

где

J''(t)={\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J

есть ковариантная производная по отношению к связности Леви-Чивита,

R

— тензор кривизны, и

T(t)=d\gamma (t)/dt

— касательный вектор к

\gamma

.

На полных римановых многообразиях любое поле, удовлетворяющее уравнению Якоби, является полем Якоби, то есть для него существует семейство геодезических $\gamma _{\tau }$ , связанное с этим полем в соответствии с определением.

Уравнение Якоби — линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.
- В частности, $J$ и ${\frac {D}{dt}}J$ в какой-либо точке $\gamma$ однозначно определяют поле Якоби.
- Кроме того, набор полей Якоби вдоль геодезической составляет вещественное векторное пространство, размерность которого равна удвоенной размерности многообразия.

Любое поле Якоби $J$ $J$ можно представить единственным образом в виде суммы $T+I$ $T+I$ , где $T=a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)$ $T=a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)$ является линейной комбинацией тривиальных полей Якоби, и $I(t)$ $I(t)$ ортогонально ${\dot {\gamma }}(t)$ ${\dot {\gamma }}(t)$ при всех $t$ $t$ .
- При этом поле $I$ соответствует тому же семейству геодезических, только с измененной параметризацией.

Для любых двух полей Якоби $I(t)$ и $J(t)$ величина
$\langle I'(t),J(t)\rangle -\langle I(t),J'(t)\rangle$

не зависит от

t

.

Пример

На сфере геодезическими через Северный полюс являются большие окружности. Рассмотрим две такие геодезические $\gamma _{0}$ и $\gamma _{\tau }$ с естественной параметризацией $t\in [0,\pi ]$ , разделенные углом $\tau$ . Геодезическое расстояние $d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))$ равно

d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=\operatorname {arcsin} {\bigg (}\sin t\sin \tau {\sqrt {1+\cos ^{2}t\operatorname {tg} ^{2}(\tau /2)}}{\bigg )}.

Чтобы получить это выражение, нужно знать геодезические. Наиболее интересный результат таков:

d(\gamma _{0}(\pi ),\gamma _{\tau }(\pi ))=0

для любого

\tau

.

Вместо этого мы можем рассмотреть производные по $\tau$ при $\tau =0$ :

{\frac {\partial }{\partial \tau }}{\bigg |}_{\tau =0}d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=|J(t)|=\sin t.

Мы вновь получаем пересечение геодезических при $t=\pi$ . Заметим, однако, что для вычисления этой производной не нужно знать $d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))$ ; все, что нужно сделать, это решить уравнение

y''+y=0

,

для некоторых заданных начальных условий.

Поля Якоби дают естественное обобщение этого явления для произвольных римановых многообразий.

Решение уравнения Якоби

Пусть $e_{1}(0)={\dot {\gamma }}(0)/|{\dot {\gamma }}(0)|$ ; добавим к этому вектору другие, чтобы получился ортонормированный базис ${\big \{}e_{i}(0){\big \}}$ в $T_{\gamma (0)}M$ . Переместим его параллельным переносом, чтобы получить базис $\{e_{i}(t)\}$ в любой точке $\gamma$ . Это даёт ортонормированный базис с $e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}(t)|$ . Поле Якоби можно записать в координатах, связанных с этим базисом: $J(t)=y^{k}(t)e_{k}(t)$ , откуда:

{\frac {D}{dt}}J=\sum _{k}{\frac {dy^{k}}{dt}}e_{k}(t),\quad {\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J=\sum _{k}{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}e_{k}(t),

и уравнение Якоби можно переписать в виде системы

{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}+|{\dot {\gamma }}|^{2}\sum _{j}y^{j}(t)\langle R(e_{j}(t),e_{1}(t))e_{1}(t),e_{k}(t)\rangle =0

для каждого $k$ . Таким образом мы получим линейные обыкновенные дифференциальные уравнения. Поскольку уравнение имеет гладкие коэффициенты, мы имеем, что решения существуют для всех $t$ и являются единственными, если заданы $y^{k}(0)$ и ${\frac {dy^{k}}{dt}}(0)$ для всех $k$ .

Примеры

Рассмотрим геодезическую $\gamma (t)$ с параллельным ортонормированным репером $e_{i}(t)$ , $e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}|$ , построенным, как описано выше.

Векторные поля вдоль $\gamma$ , заданные ${\dot {\gamma }}(t)$ и $t{\dot {\gamma }}(t)$ , являются полями Якоби.
В евклидовом пространстве (а также для пространств постоянной нулевой секционной кривизны) поля Якоби это — это те поля, что линейны по $t$ .
Для римановых многообразий постоянной отрицательной секционной кривизны $-k^{2}$ любое поле Якоби является линейной комбинацией ${\dot {\gamma }}(t)$ , $t{\dot {\gamma }}(t)$ и $\exp(\pm kt)e_{i}(t)$ , где $i>1$ .
Для римановых многообразий постоянной положительной секционной кривизны $k^{2}$ любое поле Якоби является линейной комбинацией ${\dot {\gamma }}(t)$ , $t{\dot {\gamma }}(t)$ , $\sin(kt)e_{i}(t)$ и $\cos(kt)e_{i}(t)$ , где $i>1$ .
Сужение поля Киллинга на геодезическую является полем Якоби в любом римановом многообразии.
Поля Якоби соответствуют геодезическим на касательном расслоении (по отношению к метрике $TM$ , индуцированной метрикой на $M$ ).

См. также

Литература

Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, Мир, 1971, с. 343.
Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. — Санкт-Петербург: Наука, 1994. — ISBN 5-02-024606-9.