Ожидаемая величина измерения (квантовая механика) (K'n;gybgx fylncnug n[byjyunx (tfgumkfgx by]guntg))

Перейти к навигации Перейти к поиску

Ожидаемая величина измерения (квантовая механика) — вероятностное ожидаемое значение результата эксперимента по измерению в квантовой механике. Её можно рассматривать как среднее значение всех возможных результатов измерения, взвешенное по их вероятности, и, как таковое, оно не является "наиболее" вероятным значением измерения; действительно, ожидаемое значение может иметь нулевую вероятность возникновения (например, измерения, которые могут давать только целочисленные значения, могут иметь нецелочисленное среднее значение). Является фундаментальным понятием во всех областях квантовой физики.

Популярное определение

[править | править код]

Рассмотрим оператор . Тогда ожидаемая величина равна: в обозначениях Дирака, где нормализованный[англ.] вектор состояния.

Математический аппарат

[править | править код]

В квантовой теории исходные условия эксперимента по измерению описываются наблюдаемой , подлежащей измерению, и состоянием системы. Ожидаемая величина в состоянии обозначается как . Математически, является самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве.

В наиболее часто используемом случае в квантовой механике, является чистым состоянием, описываемым нормализованным вектором[a] вектором в гильбертовом пространстве. Ожидаемая величина измерения в состоянии определена как:

 

 

 

 

(1)

Если рассматривается динамика, то принимается, что либо вектор , либо оператор зависят от времени, в зависимости от того, используется представление Шредингера или представление Гейзенберга. Однако эволюция ожидаемого значения не зависит от этого выбора.

Если имеет полный набор собственных векторов , с собственными значениями , то (1) может быть выражено как[1]

 

 

 

 

(2)

Это выражение похоже на среднее арифметическое и иллюстрирует физический смысл математического формализма: собственные значения являются возможными результатами эксперимента по измерению,[b] и соответствующий им коэффициент - это вероятность того, что этот результат будет получен; его часто называют вероятностью перехода.

Особенно простой случай возникает, когда является проекцией и, следовательно, имеет только собственные значения 0 и 1. Это физически соответствует типу эксперимента "да-нет". В этом случае ожидаемое значение - это вероятность того, что эксперимент приведет к "1", и его можно вычислить как

 

 

 

 

(3)

В квантовой теории оператор также может иметь недискретный спектр, такой как оператор координаты в квантовой механике. Этот оператор имеет полностью непрерывный спектр, с собственными значениями и собственными векторами, зависящими от непрерывного параметра, . В частности, оператор действует на пространственный вектор как .[2]

В этом случае вектор может быть записан как комплекснозначная функция на спектре (обычно реальная линия). Формально это достигается путем проецирования вектора состояния на собственные значения оператора, как в дискретном случае . Случается, что собственные векторы позиционного оператора образуют полный базис для векторного пространства состояний и, следовательно, подчиняются уравнению замыкания:

Вышеизложенное может быть использовано для получения общего интегрального выражения для ожидаемого значения (4), путем вставки идентификаторов в векторное выражение ожидаемого значения, а затем расширения на основе позиции:

Где условие ортонормированности[англ.] базисных векторов координат , уменьшает двойной интеграл до одного интеграла. В последней строке используется модуль комплексной функции для замены на , что является обычной заменой в квантово-механических интегралах.

Затем можно указать ожидаемое значение, где x неограниченно, в виде формулы:

 

 

 

 

(4)

Аналогичная формула справедлива для оператора импульса в системах, где он имеет непрерывный спектр.

Все приведенные выше формулы действительны только для чистых состояний . Важное значение в термодинамике и квантовой оптике также имеют "смешанные состояния"; они описываются положительным оператором класса следа[англ.]

,

"статистический оператор" или "матрица плотности". Затем ожидаемое значение может быть получено как

 

 

 

 

(5)

Общая формулировка

[править | править код]

В общем случае квантовые состояния описываются положительными нормализованными линейными функционалами на множестве наблюдаемых, математически часто принимаемыми за C*-алгебру. Ожидаемое значение наблюдаемой дается как

 

 

 

 

(6)

Если алгебра наблюдаемых действует неприводимо в гильбертовом пространстве, и если является "нормальным функционалом", то есть непрерывным в сверхслабой топологии[англ.], то ее можно записать как

с положительным оператором класса следа[англ.] следа 1. Это дает формулу (5) выше. В случае чистого состояния, - это проекция на единичный вектор . Тогда дает формулу (1) выше.

Предполагается, что является самосопряженным оператором. В общем случае его спектр не будет ни полностью дискретным, ни полностью непрерывным. Тем не менее, можно написать в спектральном разложении,

с помощью измеряемой проектором величины . Для ожидаемого значения в чистом состоянии , это означает

который можно рассматривать как общее обобщение формул (2) и (4) выше.

В нерелятивистских теориях конечного числа частиц (нерелятивистская квантовая механика) рассматриваемые состояния, как правило, являются нормальными. Однако в других областях квантовой теории используются также ненормальные состояния: они появляются, например. в виде состояний KMS[англ.] в квантовой статистической механике бесконечно протяженных сред, [3] и как заряженные состояния в квантовой теории поля. [4]

В этих случаях ожидаемое значение определяется только более общей формулой (6).

В качестве примера рассмотрим квантово-механическую частицу в одном пространственном измерении в представлении конфигурационного пространства. Здесь гильбертовым пространством является пространство квадратично интегрируемых функций на вещественной прямой. Векторы представлены функциями , называемыми волновыми функциями. Скалярное произведение задается . Волновые функции имеют прямую интерпретацию как распределение вероятностей: дает вероятность нахождения частицы в бесконечно малом интервале длины в какой-то точке .

В качестве наблюдаемого рассмотрим оператор координаты , который действует на волновые функции как

Ожидаемое значение или среднее значение измерений , выполненных на очень большом количестве "идентичных" независимых систем, будет предоставлено как

Ожидаемое значение существует только в том случае, если интеграл сходится, что не относится ко всем векторам . Это связано с тем, что оператор координаты неограничен, и должен быть выбран из его области определения.

В общем случае ожидание любого наблюдаемого может быть рассчитано путем замены соответствующим оператором. Например, для вычисления среднего импульса используется оператор импульса "в конфигурационном пространстве", . Очевидно, его ожидаемое значение равно

Вообще говоря, не все операторы описывают измеримые физические величины. Оператор, имеющий чисто вещественное ожидаемое значение, называется наблюдаемым, и его значение может быть непосредственно измерено в эксперименте.

Комментарии

[править | править код]
  1. В этой статье всегда принимается за норму 1. Для ненормализованных векторов, должен быть заменен на во всех формулах.
  2. Здесь предполагается, что собственные значения невырождены.

Примечания

[править | править код]
  1. Probability, Expectation Value and Uncertainty. Дата обращения: 5 ноября 2021. Архивировано 5 ноября 2021 года.
  2. Cohen-Tannoudji, Claude, 1933-. Quantum mechanics. Volume 2. — Weinheim, June 2020. — ISBN 978-3-527-82272-0.
  3. Bratteli, Ola. Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1 / Ola Bratteli, Robinson, Derek W. — Springer, 1987. — ISBN 2nd edition.
  4. Haag, Rudolf. Local Quantum Physics. — Springer, 1996. — P. Chapter IV.

Дальнейшее чтение

[править | править код]

Для обсуждения концептуальных аспектов см.: