Спектральная теорема (Vhytmjgl,ugx mykjybg)

Спектральная теорема — класс теорем о матрицах линейных операторов, дающих условия, при которых такие матрицы могут быть диагонализированы, то есть представлены в виде диагональной матрицы в некотором базисе. Эти теоремы позволяют свести вычисления, включающие диагонализируемые матрицы к гораздо более простым вычислениям, использующим соответствующие диагональные матрицы.

Понятие диагонализации, достаточно простое для случая конечномерных векторных пространств, требует некоторых уточнений при переходе к бесконечномерным векторным пространствам. Вообще говоря, спектральная теорема выделяет класс линейных операторов, которые могут моделироваться так называемыми операторами умножения^[англ.] — то есть операторами вида $\phi \mapsto f\phi$ для фиксированной функции $f$ . Более абстрактно, спектральная теорема является утверждением о коммутативных $C^{*}$ -алгебрах.

Примерами операторов, к которым может быть применена спектральная теорема являются самосопряжённые операторы или, более общо, — нормальные операторы в гильбертовых пространствах.

Спектральная теорема также даёт каноническое разложение объемлющего векторного пространства, называемое спектральным разложением или разложением по собственным значениям.

Конечномерный случай

Спектральная теорема для Эрмитовых матриц

Для любой эрмитовой матрицы $A$ на конечномерном векторном пространстве $V$ верно^[1]:

Все собственные значения матрицы $A$ вещественны;

Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны;

Собственные вектора образуют ортогональный базис для всего пространства $V$ .

Доказательство

Лемма 1: для любых векторов $\mathbf {y} \in V$ и $\mathbf {z} \in V$ верно:

(A\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=(\mathbf {y} ,A\mathbf {z} )

Доказательство леммы 1:

По определению:

A=A^{*}

Следовательно:

(A\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=(Ay)^{*}z=y^{*}Az=(y,Az)

Доказательство утверждения 1. Докажем, что все собственные значения матрицы $A$ вещественны.

Рассмотрим $\lambda$ - собственное значение матрицы $A$ .

Тогда, по определению собственного значения, существует вектор $(\mathbf {x} \in V)\neq 0$ , для которого $A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}$ .

Скалярно умножим обе части этого равенства на $\mathbf {x}$ :

(A\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=(\lambda \mathbf {x} ,\mathbf {x} )

По определению скалярного произведения:

(\lambda \mathbf {x} ,\mathbf {x} )={\overline {(\mathbf {x} ,\lambda \mathbf {x} )}}={\overline {\lambda }}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\qquad (1)

С другой стороны, применяя лемму 1 к $\mathbf {y} =\mathbf {z} =\mathbf {x}$ , получаем:

(A\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=(\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )=(\mathbf {x} ,\lambda \mathbf {x} )=\lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\qquad (2)

Из равенств $(1)$ и $(2)$ следует:

{\overline {\lambda }}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=\lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )

Поскольку для любого $(\mathbf {x} \in V)\neq 0$ верно $(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\neq 0$ , то:

{\overline {\lambda }}=\lambda

что означает $\lambda \in \mathbb {R}$ .

Доказательство утверждения 2. Докажем, что собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Рассмотрим два различных собственных значения $\lambda \neq \mu$ . Тогда:

A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} ,\quad A\mathbf {y} =\mu \mathbf {y}

где $\mathbf {x}$ и $\mathbf {y}$ - собственные вектора.

Умножим первое равенство на $\mathbf {y}$ , а также применим лемму 1 и доказанный выше факт, что собственные значения вещественны, $\lambda \in \mathbb {R}$ . В результате получим:

\lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(\lambda \mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(A\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(\mathbf {x} ,A\mathbf {y} )=(\mathbf {x} ,\mu \mathbf {y} )=\mu (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )

Исходя из $\lambda \neq \mu$ получаем, что $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0$ , то есть иными словами - вектора $\mathbf {x}$ и $\mathbf {y}$ ортогональны.

Доказательство утверждения 3. Докажем что собственные вектора образуют базис для всего пространства $V$

Пусть $\lambda _{1}$ , собственное значение матрицы $A$ , и соответствующий ему собственный вектор $\mathbf {x_{1}}$ .

Рассмотрим $V_{1}$ - множество всех векторов из $V$ , ортогональных $\mathbf {x_{1}}$ .

Поскольку для любого $\mathbf {x} \in V_{1}$ верно что $(\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=0$ , то согласно лемме 1:

(\mathbf {x_{1}} ,A\mathbf {x} )=(A\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=\lambda _{1}(\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=0

Следовательно, $\mathbf {Ax} \in V_{1}$ .

Линейный оператор $L(\mathbf {x} )=Ax$ , будучи ограниченным множеством $V_{1}$ , также является эрмитовым, имеет собственное значение $\lambda _{2}$ и соответствующий собственный вектор $\mathbf {x_{2}}$ .

По определению $\mathbf {x} _{2}$ ортогонален $\mathbf {x} _{1}$ .

Рассмотрим множество $V_{2}$ - множество векторов, ортогональных одновременно $\mathbf {x} _{1}$ и $\mathbf {x} _{2}$ . Аналогичным образом линейный оператор $L(\mathbf {x} )=Ax$ отображает $V_{2}$ на себя.

Продолжая подобным образом мы можем найти последовательность $\lambda _{k}$ , $\mathbf {x} _{k}$ , а также подпространства $V_{k}$ , содержащие $\mathbf {x} _{k}$ и при этом ортогональные векторам $\mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{k-1}$ . Последовательность завершится на шаге $n$ , поскольку $\dim V_{k}=n-k$ .

Таким образом собственные вектора $\mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{n}$ образуют ортогональный базис для всего пространства $V$

■

Спектральная теорема для унитарных матриц

Для любой унитарной матрицы $U$ на конечномерном векторном пространстве $V$ верно^[1]:

Все собственные значения матрицы $A$ имеют абсолютные величины, равные $1$ ;

Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны;

Собственные вектора образуют ортогональный базис для всего пространства $V$ .

Доказательство

Лемма 2: Для унитарной матрицы $U$ верно:

(U\mathbf {x} ,U\mathbf {y} )=(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )

где $\mathbf {x}$ и $\mathbf {y}$ - произвольные вектора из $V$

Доказательство леммы 2:

(U\mathbf {x} ,U\mathbf {y} )=(U\mathbf {x} )^{*}U\mathbf {y} =x^{*}U^{*}Uy=x^{*}y=(x,y)

Доказательство утверждения 1: Все собственные значения матрицы $A$ имеют абсолютные величины, равные $1$ .

Рассмотрим $\lambda$ - собственное значение матрицы $A$ .

Тогда, по определению собственного значения, существует вектор $(\mathbf {x} \in V)\neq 0$ , для которого:

A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}

.

Применяя лемму 2 получаем:

(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=(A\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )={\overline {\lambda }}\lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )

Поскольку $\mathbf {x} \neq 0$ , то $(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\neq 0$ , а следовательно:

{\overline {\lambda }}\lambda =|\lambda |^{2}=1

Доказательство утверждения 2: Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Рассмотрим два различных собственных значения $\lambda \neq \mu$ . Тогда:

A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} ,\quad A\mathbf {y} =\mu \mathbf {y}

где $\mathbf {x}$ и $\mathbf {y}$ - собственные вектора.

Перемножим эти два уравнения:

(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(A\mathbf {x} ,A\mathbf {y} )={\overline {\lambda }}\mu (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )

Как было показано выше, $|\lambda |=1$ . Следовательно ${\overline {\lambda }}=\lambda ^{-1}$ , откуда:

(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mu \lambda ^{-1}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )

Поскольку выше было сделано предположение, что $\lambda \neq \mu$ , то получаем:

(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0

То есть вектора $\mathbf {x}$ и $\mathbf {y}$ ортогональны.

Доказательство утверждения 3: Собственные вектора образуют ортогональный базис для всего пространства $V$ .

Пусть $\lambda _{1}$ , собственное значение матрицы $A$ , и соответствующий ему собственный вектор $\mathbf {x_{1}}$ .

Рассмотрим $V_{1}$ - множество всех векторов из $V$ , ортогональных $\mathbf {x_{1}}$ .

Докажем, что для любого вектора $\mathbf {x} \in V_{1}$ верно $A\mathbf {x} \in V_{1}$ .

Из леммы 2 следует, что $A^{*}=A^{-1}$ . Используя этот факт, получаем:

(A\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{1})=(x,A^{*}\mathbf {x} _{1})=(x,A^{-1}\mathbf {x} _{1})=\lambda ^{-1}(\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=0

Таким образом $V_{1}$ является собственным подпространством размерности $\dim V-1$ пространства $V$ .

Поскольку линейный оператор $L(\mathbf {x} )=Ax$ , будучи ограниченным множеством $V_{1}$ , также является эрмитовым, имеет собственное значение $\lambda _{2}$ и соответствующий собственный вектор $\mathbf {x_{2}}$ .

Продолжая подобным образом мы можем найти последовательность $\lambda _{k}$ , $\mathbf {x} _{k}$ , а также подпространства $V_{k}$ , содержащие $\mathbf {x} _{k}$ и при этом ортогональные векторам $\mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{k-1}$ . Последовательность завершится на шаге $n$ , поскольку $\dim V_{k}=n-k$ .

Таким образом собственные вектора $\mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{n}$ образуют ортогональный базис для всего пространства $V$

■

Нормальные матрицы

Спектральная теорема может быть распространена на несколько более широкий класс матриц. Пусть $A$ является оператором на конечномерном пространстве со скалярным произведением. $A$ называют нормальным, если $AA^{*}=A^{*}A$ . Можно доказать, что $A$ является нормальным тогда и только тогда, когда он является унитарно диагонализируемым. В самом деле, в соответствии с разложением Шура мы имеем $A=UTU^{*}$ , где $U$ является унитарным оператором, а $T$ — верхнетреугольным. Поскольку $A$ является нормальным, то $TT^{*}=T^{*}T$ . Следовательно, $T$ является диагональным. Обратное не менее очевидно.

Другими словами, $A$ является нормальным тогда и только тогда, когда существует унитарная матрица $U$ такая, что $A=U\Lambda U^{*}$ , где $\Lambda$ является диагональной матрицей. При этом диагональные элементы матрицы Λ являются собственными значениями $A,$ а векторы-столбцы матрицы $U$ являются собственными векторами $A$ (они, конечно, имеют единичную длину и попарно ортогональны). В отличие от эрмитова случая элементы матрицы $\Lambda$ не обязательно вещественны.

Спектральная теорема для компактных самосопряжённых операторов

В бесконечномерных гильбертовых пространствах утверждение спектральной теоремы для компактных самосопряжённых операторов выглядит в сущности также как в конечномерном случае.

Теорема
Пусть $A$ является компактным самосопряжённым оператором в гильбертовом пространстве $V$ . Существует ортонормированный базис пространства $V$ , состоящий из собственных векторов оператора $A$ . При этом все собственные значения вещественны.

Так же как и в случае эрмитовых матриц ключевым моментом является доказательство существования хоть одного собственного вектора. В бесконечномерном случае невозможно использовать определители для доказательства существования собственных векторов, но можно использовать соображения максимизации, аналогичные вариационной характеризации собственных значений. Приведённая выше спектральная теорема справедлива как для вещественных, так и для комплексных гильбертовых пространств.

Без предположения о компактности становится неверным утверждение о том, что всякий самосопряжённый оператор имеет собственный вектор.

Спектральная теорема для ограниченных самосопряжённых операторов

Следующее обобщение, которое мы рассмотрим, касается ограниченных самосопряжённых операторов в гильбертовых пространствах. Такие операторы могут не иметь собственных значений (например, таков оператор $A$ умножения на независимую переменную в пространстве $L^{2}[0,1]$ , то есть $\left[A\phi \right](t)=t\phi (t)$ .

Теорема
Пусть $A$ является ограниченным самосопряжённым оператором в гильбертовом пространстве $H$ . Тогда существует пространство с мерой $\left(X,\Sigma ,\mu \right)$ , вещественнозначная измеримая функция $f$ на $X$ и унитарный оператор $U:H\rightarrow L_{\mu }^{2}(X)$ такие, что $U^{*}TU=A$ , где $T$ является оператором умножения^[англ.], то есть $\left[T\phi \right](x)=f(x)\phi (x)$ .

С этой теоремы начинается обширная область исследований по функциональному анализу, называемая теорией операторов.

Аналогичная спектральная теорема справедлива для ограниченных нормальных операторов в гильбертовых пространствах. Единственная разница состоит в том, что теперь $f$ может быть комплекснозначной.

Альтернативная формулировка спектральной теоремы позволяет записать оператор $A$ как интеграл, взятый по спектру оператора, от координатной функции по проекционной мере^[англ.]. В случае когда рассматриваемый нормальный оператор является компактным, эта версия спектральной теоремы сводится к приведённой выше конечномерной спектральной теореме (с той оговоркой, что теперь линейная комбинация может содержать бесконечно много проекторов).

Спектральная теорема для общих самосопряжённых операторов

Многие важные линейные операторы, возникающие в математическом анализе, не являются ограниченными. Например, таковы дифференциальные операторы. Имеется спектральная теорема для самосопряжённых операторов, которая работает для неограниченных операторов. Например, любой дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами унитарно эквивалентен оператору умножения (соответствующим унитарным оператором является преобразование Фурье, а соответствующий оператор умножения называют мультипликатором Фурье^[англ.]).

Литература

Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, Springer Verlag, 1997
А. А. Кириллов, А. Д. Гвишиани, Теоремы и задачи функционального анализа, М.: Наука, 1979
Paul Halmos, «What Does the Spectral Theorem Say?», American Mathematical Monthly, 70, no. 3 (1963), 241—247

Примечания

↑ ¹ ² A. Eremenko. Spectral Theorems for Hermitian and unitary matrices (англ.). Purdue science, Department of Mathematics (26 октября 2017). Дата обращения: 19 февраля 2019. Архивировано 20 февраля 2019 года.

[eremenko-1] ¹ ² A. Eremenko. Spectral Theorems for Hermitian and unitary matrices (англ.). Purdue science, Department of Mathematics (26 октября 2017). Дата обращения: 19 февраля 2019. Архивировано 20 февраля 2019 года.

[1]