Момент (математика) (Bkbyum (bgmybgmntg))

Моме́нт поря́дка $k$ системы материальных точек относительно начала отсчёта (лат. momentum — движущая сила, толчок, побудительное начало, от moveo — двигаю; англ. moment) — понятие механики и теории вероятностей, сумма

x_{1}^{k}m_{1}+x_{2}^{k}m_{2}+\cdots =\sum _{i}x_{i}^{k}m_{i}

,

где $m_{1},m_{2},\dots (m_{i}>0)$ — массы материальных точек, которые расположены на одной прямой; $x_{1},x_{2},\dots$ — абсциссы этих точек относительно заданного начала отсчёта на прямой^[1].

Статический момент — момент первого порядка^[1]^[2]^[3].

Момент инерции — момент второго порядка^[1].

Абсолютный момент — момент, в формуле которого вместо абсцисс подставлены их абсолютные значения^[1].

Центр, или центр тяжести, системы масс — точка прямой с абсциссой, заданной следующей формулой^[1]^[4]^[5]:

{\frac {\sum _{i}x_{i}^{k}m_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}

.

Центральный момент — момент, который вычислен относительно центра^[1].

Любая система масс обладает следующими свойствами^[1]:

центральный статистический момент равен нулю;
центральный момент инерции наименьший из всех моментов инерции.

Неравенство Чебышёва. Сумма масс точек, находящихся от произвольной точки $O$ на расстоянии, большем $a$ , не превышает момента инерции системы точек относительно точки $O$ , разделённого на $a^{2}$ ^[1].

Недискретное распределение массы

Момент порядка $k$ непрерывного распределения массы относительно начала отсчёта — абсолютно сходящийся интеграл

\int _{-\infty }^{+\infty }x^{k}f(x)\,dx

,

где $f(x)\geqslant 0$ — плотность распределения массы^[англ.]. Все упомянутые определения и теоремы при этом сохраняют силу^[1].

Еси же масса произвольно распределена, то суммы в выражениях для момента заменяются интегралами Стилтьеса. Именно таким путём и возник впервые интеграл Стилтьеса. Все упомянутые определения и теоремы при этом сохраняют силу^[1].

Теория вероятностей

В теории вероятностей абсциссы заменяются различными возможными значениями случайной величины, а массы — соответствующими вероятностями, причём сумма всех вероятностей (масс) равна 1^[1]:

математическое ожидание данной случайной величины — момент первого порядка, который в теории вероятностей есть абсцисса центра (сумма вероятностей 1);
дисперсия данной случайной величины — центральный момент второго порядка.

Неравенство Чебышёва чрезвычайно важно в теории вероятностей. В математической статистике моменты служат обычно основными статистическими сводными характеристиками распределений^[1].

Статические моменты плоской кривой

Определения

Статические моменты точки $M$ относительно осей $Ox$ и $Oy$ — произведения $my$ и $mx$ соответственно, где $m$ — масса материальной точки $M$ , имеющей координаты $x$ и $y$ на плоскости^[2].

Рассмотрим спрямляемую кривую $AB=\{r(l),\,0\leqslant l\leqslant L\}$ , где $l$ — переменная длина дуги. Кривая $AB$ имеет массу, причём масса её дуги прямо пропорциональна длине дуги, то есть масса дуги длиной $\Delta l$ равна $\Delta m=\rho \Delta l$ , где $\rho$ — некоторая постоянная^[2].

Линейная плотность кривой $AB$ — коэффициент пропорциональности $\rho ={\frac {\Delta m}{\Delta l}}$ , где дуга длиной $\Delta l$ имеет массу $\Delta m$ , то есть плотность кривой есть массе длины её дуги, которая приходится на единицу длины этой дуги^[2].

Однородная кривая — кривая с линейной плотностью^[2].

Пусть для простоты в дальнейшем $\rho =1$ , то есть дуга длиной $\Delta l$ имеет массу $\Delta l$ , в частности, масса всей кривой $AB$ равна $L$ ^[2].

Момент кривой относительно оси — момент $M_{x}$ ( $M_{y}$ ) кривой $AB$ относительно оси $Ox$ ( $Oy$ ) равен следующей величине^[4]:

M_{x}=\int _{0}^{L}y\,dl\quad

\left(M_{y}=\int _{0}^{L}x\,dl\right)

.

Центр тяжести кривой — точка плоскости $P(x_{0},\,y_{0})$ такая, что если в ней находится материальная точка с массой $L$ всей кривой $AB$ , то тогда статический момент этой точки относительно любой координатной оси равен статическому моменту ей кривой относительно той же оси^[4].

По определению получаем, что

x_{0}L=M_{y},\quad

y_{0}L=M_{x},

то есть имеем следующие формулы^[4]:

x_{0}={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}x\,dl,\quad

y_{0}={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}y\,dl.

Теорема Гульдина

Теорема Гульдина. Площадь поверхности вращения кривой около некоторой не пересекающей её оси равна произведению длины этой кривой и длины окружности, которая описана центром тяжести этой кривой^[6].

Доказательство. Сравним формулу ординаты центра тяжести кривой (непрерывно дифференцируемой без особых точек)

y_{0}L=\int _{0}^{L}y\,dl

с формулой площади поверхности вращения этой же кривой вокруг некоторой оси

S=\int _{0}^{L}2\pi y\,dl

,

имеем интересное соотношение

S=2\pi y_{0}L

,

которое и доказывает теорему^[6].

Если у кривой известно положение центра тяжести, то тогда по теорема Гульдина легко находится площадь поверхности вращения этой кривой^[6].

Примеры

Площадь поверхности вращения окружности

Найдём площадь поверхности, полученной вращением окружности

S=(x-a)^{+}y^{2}=r^{2},\,\quad

0<r<a,

не пересекающей ось $Oy$ , вокруг этой оси, то есть площадь поверхности тора. Поскольку центр окружности совпадает с её центром тяжести, имеем^[6]:

S=2\pi a\cdot 2\pi r=4\pi ^{2}ar

,

Центр тяжести цепной линии

Найдём центр тяжести цепной линии, выраженной следующей формулой^[6]:

y=a\operatorname {ch} {\frac {x}{a}},\quad

-b\leqslant x\leqslant b.

Цепная линия симметрична относительно оси $Oy$ , поэтому момент

M_{y}=0

,

что легко доказать: выберем за начало отсчёта дуг пересечение цепной линии с осью $Oy$ , и пусть $2L$ — длина цепной линии, тогда

M_{y}=\int _{-L}^{L}x(l)\,dl=0

,

так как $x(l)$ — нечётная функция. И поскольку $2Lx_{0}=M_{y}$ , то получаем первую координату центра тяжести^[6]:

x_{0}=0

.

Рассмотрим выражение для следующего момента

M_{x}=\int _{-L}^{L}y\,dl

,

причём

2\pi M_{x}=2\pi y_{0}L=S_{x}

,

где $S_{x}$ — площадь поверхности вращения цепной линии вокруг оси $Ox$ , то есть площадь поверхности катеноида. Но сама по себе площадь поверхности катеноида $S_{x}=\pi a\left(2b+a\operatorname {sh} {\frac {2b}{a}}\right)$ , следовательно, получаем следующее уравнение^[6]:

M_{x}={\frac {a}{2}}\left(2b+a\operatorname {sh} {\frac {2b}{a}}\right)

.

С другой стороны, назначенную длину цепной линии $2L$ легко определить по формуле

2L=\int _{-b}^{b}dl=\int _{-b}^{b}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int _{-b}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,dx=

=\int _{-b}^{b}{\sqrt {1+\operatorname {sh} ^{2}{\frac {x}{a}}}}\,dx=\int _{-b}^{b}\operatorname {ch} {\frac {x}{a}}=a\operatorname {sh} {\frac {x}{a}}{\Bigr |}_{-b}^{b}=2a\operatorname {sh} {\frac {b}{a}}

,

откуда вытекает следующая формула для второй координаты центра тяжести^[7]:

y_{0}={\frac {M_{x}}{2L}}={\frac {2b+a\operatorname {sh} {\displaystyle {\frac {2b}{a}}}}{4\operatorname {sh} {\displaystyle {\frac {b}{a}}}}}

.

Статические моменты плоской фигуры

Определения

Пусть дана некоторая плоская фигура $AA'B'B$ (см. рис.) — криволинейную трапецию, которая ограничена сверху кривой $AB$ с явным уравнением неотрицательной функции $y=f(x)$ , и по этой фигуре равномерно распределена масса с постоянной поверхностной плотностью $\rho$ . Без умаления общности положим $\rho =1$ , то есть масса произвольной части фигуры равна её площади, что всегда подразумевается, когда рассматривают статические моменты (или центр тяжести) плоской фигуры^[8].

Вычислим статические моменты $M_{x}$ и $M_{y}$ криволинейной трапеции относительно осей координат. Рассмотрим произвольный элемент фигуры как бесконечно узкую вертикальную полоску (см. рис.). Аппроксимировав эту полоску прямоугольником, получаем её массу (и площадь) $ydx$ . Пусть масса полоски сосредоточена в её центре тяжести, то есть в центре прямоугольника, что не меняет величины статических моментов. Координаты этого центра тяжести $\left(x+{\frac {1}{2}}dx,\,{\frac {1}{2}}y\right)=\left(x,\,{\frac {1}{2}}y\right)$ , поскольку ${\frac {1}{2}}dx\cdot ydx$ есть бесконечно малая второго порядка. Поэтому получаем следующие элементарные статические моменты^[9]:

dM_{x}={\frac {1}{2}}y^{2}dx,\quad

dM_{y}=xydx.

После суммирования этих элементарных моментов получаем статистические моменты

M_{x}={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}y^{2}\,dx,\quad

M_{y}=\int _{a}^{b}xy\,dx,

где $y=f(x)$ ^[9].

Так же как и в случае статистических моментов кривой, теперь легко получить формулы для координат $x_{0}$ и $y_{0}$ центра тяжести плоской фигуры. Пусть $S$ — площадь (и масса) фигуры, тогда по основному свойству центра тяжести

Sx_{0}=M_{y}=\int _{a}^{b}xy\,dx,\quad

Sy_{0}=M_{x}={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}y^{2}\,dx,

откуда получаем следующие координаты центра тяжести^[10]:

x_{0}={\frac {1}{S}}M_{y}={\frac {1}{S}}\int _{a}^{b}xy\,dx,\quad

y_{0}={\frac {1}{S}}M_{x}={\frac {1}{2S}}\int _{a}^{b}y^{2}\,dx.

Теорема Гульдина

Вторая теорема Гульдина. Объём тела вращения плоской фигуры около некоторой не пересекающей её оси равен произведению площади этой фигуры и длины окружности, которая описана центром тяжести этой фигуры^[11].

Доказательство. Сравним формулу ординаты центра тяжести плоской фигуры

2y_{0}S=\int _{a}^{b}y^{2}\,dx

с формулой тела вращения этой же кривой вокруг некоторой оси

V=\int _{a}^{b}\pi y^{2}\,dx

,

имеем интересное соотношение

V=2\pi y_{0}S

,

которое и доказывает теорему^[11].

Эти формулы справедливы и для такой фигуры, которая ограничена снизу и сверху кривыми соответственно

y_{1}=f_{1}(x),\quad

y_{2}=f_{2}(x),

в этом случае имеем следующие формулы статистических моментов^[11]^[12]:

M_{x}={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}(y_{2}^{2}-y_{1}^{2})\,dx,\quad

M_{y}=\int _{a}^{b}x(y_{2}-y_{1})\,dx.

Преобразование формул для координат центра тяжести очевидны^[11]^[13]:

x_{0}={\frac {1}{S}}M_{y}={\frac {1}{S}}\int _{a}^{b}x(y_{2}-y_{1})\,dx,\quad

y_{0}={\frac {1}{S}}M_{x}={\frac {1}{2S}}\int _{a}^{b}(y_{2}^{2}-y_{1}^{2})\,dx.

Поскольку площадь такой фигуры есть

S=\int _{a}^{b}(y_{2}-y_{1})\,dx

,

то вторая теорема Гульдина верна и здесь^[11]^[13].

Примеры

Статические моменты и центр тяжести фигуры, ограниченной параболой

Найдём оба статических момента $M_{x}$ и $M_{y}$ , а также обе координаты $x_{0}$ и $y_{0}$ центра тяжести плоской фигуры — криволинейной трапеции, которая ограничена сверху параболой $y^{2}=2px$ , снизу осью $x$ и сбоку прямой, параллельной оси ординат и соответствующей абсциссе $x$ . Исходя из уравнения параболы $y={\sqrt {2px}}$ и формул

Sx_{0}=M_{y}=\int _{0}^{x}xy\,dx,\quad

Sy_{0}=M_{x}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{x}y^{2}\,dx,

получаем следующие выражения для статистических моментов^[11]:

M_{x}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{x}2px\,dx={\frac {1}{2}}px^{2}={\frac {1}{4}}y^{2}x,

M_{y}=\int _{0}^{x}x{\sqrt {2px}}\,dx={\frac {2}{5}}{\sqrt {2p}}x^{\frac {5}{2}}={\frac {2}{5}}yx^{2}.

Вычислим площадь криволинейной трапеции^[11]:

S=\int _{0}^{x}{\sqrt {2px}}\,dx={\frac {2}{3}}{\sqrt {2p}}x^{\frac {3}{2}}={\frac {2}{3}}yx.

Теперь по формулам

x_{0}={\frac {1}{S}}M_{y},\quad

y_{0}={\frac {1}{S}}M_{x}

находим следующие выражения для координат центра тяжести^[14]:

x_{0}={\frac {3}{5}}x,\quad

y_{0}={\frac {3}{8}}{\sqrt {2px}}={\frac {3}{8}}y.

По второй теореме Гульдина найдём объём тела вращения данной фигуры вокруг прямой, которой принадлежит правая граница фигуры^[14]:

V=2\pi (x-{\frac {3}{5}}x)S={\frac {8}{15}}\pi x^{2}y.

Центр тяжести фигуры, ограниченной аркой циклоиды и осью абсцисс

Найдём координаты $x_{0}$ и $y_{0}$ центра тяжести фигуры, ограниченной аркой циклоиды

x=a(t-\sin t),\quad

y=a(1-\cos t)

и осью абсцисс. Поскольку площадь и объём тела вращения данной фигуры около оси абсцисс соответственно равны

S=3\pi a^{2},\quad

V=5\pi ^{2}a^{3},

из соображений симметрии и по второй теореме Гульдина соответственно получаем^[14]:

x_{0}=\pi a,\quad

y_{0}={\frac {5}{6}}a.

Проблема моментов

Проблема моментов — проблема математического анализа по определению свойств произвольной функции $f(x)$ по известным свойствам последовательности её моментов^[1]:

\mu _{k}=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{k}f(x)\,dx

.

Эту задачу впервые рассмотрел в 1874 году П. Л. Чебышёв в контексте исследований по теории вероятностей (при попытке доказать центральную предельную теорему). В последствии при рассмотрении этой задачи возникли новые мощные методы математического анализа^[1].

Примечания

↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ ¹¹ ¹² ¹³ ¹⁴ Момент, 1974.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой, с. 508.
↑ Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 206. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой, с. 384.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой, с. 509.
↑ Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 206. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой, с. 385.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой, с. 510.
↑ Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой, с. 511.
↑ Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 207. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры, с. 386.
↑ ¹ ² Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 207. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры, с. 387.
↑ Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 207. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры, с. 387—388.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 207. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры, с. 388.
↑ Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. II, 1981, 49.2. Физические приложения кратных интегралов, с. 231.
↑ ¹ ² Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. II, 1981, 49.2. Физические приложения кратных интегралов, с. 232.
↑ ¹ ² ³ Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 207. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры, с. 389.

Источники

Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов. М.: «Высшая школа», 1981, т. I. 687 с., ил.
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов. М.: «Высшая школа», 1981, т. II. 584 с., ил.
Момент // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1974. Т. 16. Мёзия — Моршанск. 1974. 616 с. с илл., 28 л. илл., 4 л. карт. С. 491. Многоугольник // БСЭ 3-е издание. Основной вариант Архивная копия от 7 апреля 2023 на Wayback Machine
Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа, т. I. Изд. 6, стереотип. М.: «Наука», 1968. 440 с. с илл.

[_5f3afa89cdda21e1-1] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ ¹¹ ¹² ¹³ ¹⁴ Момент, 1974.

[_62b1d27e6b08e735-2] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой, с. 508.

[_f8a08340d3854de5-3] Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 206. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой, с. 384.

[_5e566f7e69ca1b4e-4] ¹ ² ³ ⁴ Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой, с. 509.

[_ee51a040cd37467e-5] Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 206. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой, с. 385.

[_82854e75f1e9a6ac-6] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой, с. 510.

[_86226175f286c193-7] Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой, с. 511.

[_98ec4c016fcbf304-8] Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 207. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры, с. 386.

[_a3575f017632c6cb-9] ¹ ² Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 207. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры, с. 387.

[_6056272ae6f12f70-10] Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 207. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры, с. 387—388.

[_a7c05a01777d1e5e-11] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 207. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры, с. 388.

[_aa298571e98544aa-12] Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. II, 1981, 49.2. Физические приложения кратных интегралов, с. 231.

[_c34c7671f784756b-13] ¹ ² Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. II, 1981, 49.2. Физические приложения кратных интегралов, с. 232.

[_b2103d017dccd8c5-14] ¹ ² ³ Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 207. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры, с. 389.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]