Многочлены Гегенбауэра (Bukikclyud IyiyuQgrzjg)

Перейти к навигации Перейти к поиску
Многочлены Гегенбауэра
Общая информация
Формула
Скалярное произведение
Область определения
Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение
Норма
Названы в честь Леопольда Гегенбауэра

Многочле́ны Гегенба́уэра или ультрасфери́ческие многочле́ны в математике — многочлены, ортогональные на отрезке [−1,1] с весовой функцией . Они могут быть явным образом представлены как

где гамма-функция, а обозначает целую часть числа n/2.

Многочлены Гегенбауэра являются обобщением многочленов Лежандра и Чебышёва и являются частным случаем многочленов Якоби. Также многочлены Гегенбауэра связаны с представлением специальной ортогональной группы [1]. Они названы в честь австрийского математика Леопольда Гегенбауэра (1849—1903).

Производящая функция и частные значения аргумента

[править | править код]

Многочлены Гегенбауэра могут быть определены через производящую функцию[2]:

Поскольку производящая функция не меняется при одновременной замене , , то

из чего следует, что при чётном n многочлены Гегенбауэра содержат только чётные степени z, а при нечётном n — только нечётные степени z.

Через производящую функцию можно получить значения многочленов Гегенбауэра при z=1 и z=0 как коэффициенты разложений и соответственно:

  (для чётных n),         (для нечётных n),

где используется стандартное обозначение для символа Похгаммера,

.

Рекуррентное соотношение и частные случаи

[править | править код]

Многочлены Гегенбауэра удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению, которое можно использовать для построения полиномов с :

В частности[3],

и так далее.

Дифференциальное уравнение и связь с другими функциями

[править | править код]

Многочлены Гегенбауэра удовлетворяют дифференциальному уравнению Гегенбауэра[4]

При это уравнение сводится к дифференциальному уравнению Лежандра и, соответственно, многочлены Гегенбауэра сводятся к многочленам Лежандра.

Многочлены Гегенбауэра можно выразить через конечный гипергеометрический ряд

Многочлены Гегенбауэра являются частным случаем многочленов Якоби c :

Производная многочлена Гегенбауэра выражается через многочлен со сдвинутыми индексами

Они могут быть выражены через формулу Родрига

Ортогональность и нормировка

[править | править код]

Для данного многочлены Гегенбауэра ортогональны на отрезке [−1,1] с весовой функцией , то есть (для n ≠ m)[5],

Они нормализованы как[5]

Случай комплексного аргумента

[править | править код]

Если , где и — действительные переменные (и тоже действительна), то действительную и мнимую части полиномов Гегенбауэра можно выразить в следующем виде:


Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. — М.: Физматлит, 2007. — 480 с. — ISBN 978-5-9221-0406-7.
  • Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представления групп / Гл. ред. физ.-мат. лит. — 2-е изд., исправ. — М.: Наука, 1991. — 576 с. — ISBN 5-02-014541-6.
  • Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions[англ.], (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. См. Chapter 22