Многообразие Уайтхеда (BukikkQjg[ny Rgwm]y;g)

Многообразие Уайтхеда — определённый пример открытого трёхмерного многообразия, являющегося стягиваемым, но не гомеоморфным $\mathbb {R} ^{3}$ . Пример был найден Генри Уайтхедом в 1935 году при попытке решить гипотезу Пуанкаре.

В одномерном и двумерном случаях подобных примеров не существует.

Построение

Для построения в трёхмерной сфере $\mathbb {S^{3}}$ выбирается незаузленное полноторие $T_{1}$ , далее — второе полноторие $T_{2}$ в $T_{1}$ так, что $T_{2}$ и трубчатая окрестность меридиана $T_{1}$ образуют утолщение зацепления Уайтхеда. При этом $T_{2}$ можно стянуть в дополнении меридиана $T_{1}$ и меридиан $T_{1}$ можно стянуть в дополнении $T_{2}$ .

Далее строится полноторие $T_{3}$ , вложенное в $T_{2}$ тем же способом, как и $T_{2}$ для $T_{1}$ ; это построение можно продолжить до бесконечности, получив последовательность вложенных полнотрий:

T_{1}\supset T_{2}\supset T_{3}\supset \dots

Континуум Уайтхеда определяется как пересечение построенных полнотрий:

T_{\infty }=\bigcap _{i}T_{i}

.

Дополнение $W=\mathbb {S^{3}} \setminus T_{\infty }$ и есть многообразие Уайтхеда.

Свойства

Многообразие Уайтхеда, $W$ , не гомеоморфно $\mathbb {R} ^{3}$ , но произведение $W\times \mathbb {R}$ гомеоморфно $\mathbb {R} ^{4}$ .
Многообразие Уайтхеда не односвязно на бесконечности. То есть $W$ содержит компактное множество $K$ такое, что для любого другого компактного множества $K'\supset K$ дополнение $W\backslash K'$ не односвязно.