Мера иррациональности (Byjg njjgenkugl,ukvmn)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Мера иррациональности действительного числа  — это действительное число , показывающее, насколько хорошо может быть приближено рациональными числами.

Определение

[править | править код]

Пусть  — действительное число, и пусть  — множество всех чисел таких, что неравенство имеет лишь конечное число решений в целых числах и :

Тогда мера иррациональности числа определяется как точная нижняя грань :

Если , то полагают .

Другими словами,  — наименьшее число, такое, что для любого для всех рациональных приближений с достаточно большим знаменателем верно, что .

Возможные значения меры иррациональности

[править | править код]

Связь с цепными дробями

[править | править код]

Если  — разложение числа в цепную дробь, и  — -ая подходящая цепная дробь, то

С помощью этой формулы особенно легко найти меру иррациональности для квадратичных иррациональностей, поскольку разложения их в цепные дроби периодичны. Например, для золотого сечения , и тогда .

Теорема Туэ — Зигеля — Рота

[править | править код]

По лемме Дирихле, если иррационально, то существует бесконечное количество таких p и q, что , то есть . В 1844 году Лиувиллем была доказана теорема о том, что для любого алгебраического числа степени можно подобрать константу такую, что . В 1908 году Туэ усилил эту оценку. Дальнейшие результаты в этом направлении получили Зигель, Дайсон, Гельфонд, Шнайдер. Наиболее точная оценка была доказана Ротом в 1955 году, полученную теорему называют теоремой Туэ — Зигеля — Рота[англ.]*. Она утверждает, что если  — алгебраическое иррациональное число, то . За это доказательство Рот получил Филдсовскую премию.

Мера иррациональности некоторых трансцендентных чисел

[править | править код]

Для почти всех трансцендентных чисел мера иррациональности равна 2. Хорошо известно, что , а также известны числа Лиувилля, которые по определению имеют бесконечную меру иррациональности. Однако для многих других трансцендентных констант мера иррациональности неизвестна, в лучшем случае известна некоторая оценка сверху. Например:

  • [1]
  • [2]
  • [3]

Примечания

[править | править код]
  1. Doron Zeilberger, Wadim Zudilin - The Irrationality Measure of Pi is at most 7.103205334137... Дата обращения: 2 ноября 2023. Архивировано 2 ноября 2023 года.
  2. Irrationality Measure - from Wolfram MathWorld. Дата обращения: 28 февраля 2021. Архивировано 11 января 2021 года.
  3. В. А. Андросенко, Мера иррациональности числа π/√3 , Изв. РАН. Сер. матем. , 2015, том 79, выпуск 1, 3–20