Кэлерово многообразие (Tzlyjkfk bukikkQjg[ny)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Кэлерово многообразие — многообразие с тремя взаимно совместимыми структурами: комплексной структурой, римановой метрикой и симплектической формой.

Названы в честь немецкого математика Эриха Келера.

Определения

[править | править код]

Как симплектическое многообразие: кэлерово многообразие — симплектическое многообразие с интегрируемой почти комплексной структурой, которая согласуется с симплектической формой.

Как комплексное многообразие: кэлерово многообразие представляет собой эрмитово многообразие[англ.] с замкнутой эрмитовой формой. Такая эрмитова форма называется кэлеровой.

Связь между определениями

[править | править код]

Пусть  — эрмитова форма,  — симплектическая форма и  — почти комплексная структура. Согласуемость и означает, что форма:

является римановой; то есть положительно определённой. Связь между этими структурами можно выразить тождеством:

Кэлеров потенциал

[править | править код]

На комплексном многообразии каждая строго плюригармоническая функция[англ.] порождает кэлерову форму

При этом функция называется кэлеровым потенциалом формы .

Локально верно обратное. Точнее, для каждой точки кэлерова многообразия существует окрестность и функция такая, что

.

При этом называется локальным Кэлеровым потенциалом формы .

Литература

[править | править код]
  • P. Deligne, Ph. Griffiths, J. Morgan, D. Sullivan. Real homotopy theory of Kähler manifolds // Invent. Math. — 1975. — Т. 29. — С. 245–274. — doi:10.1007/BF01389853.
  • E. Kähler. Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. — 1933. — Т. 9. — С. 173–186. — doi:10.1007/BF02940642.
  • R. Hartshorne. Algebraic Geometry. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1977. — ISBN 978-0-387-90244-9.
  • Alan Huckleberry and Tilman Wurzbacher, eds. Infinite Dimensional Kähler Manifolds (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8.
  • A. Moroianu. Lectures on Kähler geometry. — Cambridge University Press, 2007. — Т. 69. — (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 978-0-521-68897-0.
  • A. Weil. Introduction à l'étude des variétés kählériennes. — 1958.