Кэлерово многообразие (Tzlyjkfk bukikkQjg[ny)

Кэлерово многообразие — многообразие с тремя взаимно совместимыми структурами: комплексной структурой, римановой метрикой и симплектической формой.

Названы в честь немецкого математика Эриха Келера.

Определения

Как симплектическое многообразие: кэлерово многообразие — симплектическое многообразие $(K,\omega )$ с интегрируемой почти комплексной структурой, которая согласуется с симплектической формой.

Как комплексное многообразие: кэлерово многообразие представляет собой эрмитово многообразие^[англ.] с замкнутой эрмитовой формой. Такая эрмитова форма называется кэлеровой.

Связь между определениями

Пусть $h$ — эрмитова форма, $\omega$ — симплектическая форма и $J$ — почти комплексная структура. Согласуемость $\omega$ и $J$ означает, что форма:

g(u,v)=\omega (u,Jv)

является римановой; то есть положительно определённой. Связь между этими структурами можно выразить тождеством:

h=g-i\omega .

Кэлеров потенциал

На комплексном многообразии $K$ каждая строго плюригармоническая функция^[англ.] $\rho \in C^{\infty }(K;\mathbb {R} )$ порождает кэлерову форму

\omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\rho .

При этом функция $\rho$ называется кэлеровым потенциалом формы $\omega$ .

Локально верно обратное. Точнее, для каждой точки $p$ кэлерова многообразия $(K,\omega )$ существует окрестность $U\ni p$ и функция $\rho \in C^{\infty }(U,\mathbb {R} )$ такая, что

\omega \vert _{U}=i\partial {\bar {\partial }}\rho

.

При этом $\rho$ называется локальным Кэлеровым потенциалом формы $\omega$ .

Примеры

Комплексное евклидово пространство $\mathbb {C} ^{n}$ со стандартной эрмитовой формой.
Каждая риманова метрика на ориентируемой поверхности определяет кэлерово многообразие, поскольку замкнутость $\omega$ тривиальна в вещественной размерности два.
Комплексное проективное пространство $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ с метрикой Фубини — Штуди.
Индуцированная метрика на комплексное подмногообразии в кэлеровом многообразии.
- В частности, любое многообразие Штейна^[англ.] и любое проективное алгебраическое многообразие.
- По теореме Кодайры о вложении кэлерово многообразие, допускающее положительное расслоение со слоем прямая, вкладывается в проективное пространство.
K3-поверхности
Важным подклассом кэлеровых многообразий являются многообразия Калаби — Яу.

См. также

Почти комплексного многообразия

Литература

P. Deligne, Ph. Griffiths, J. Morgan, D. Sullivan. Real homotopy theory of Kähler manifolds // Invent. Math. — 1975. — Т. 29. — С. 245–274. — doi:10.1007/BF01389853.
E. Kähler. Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. — 1933. — Т. 9. — С. 173–186. — doi:10.1007/BF02940642.
R. Hartshorne. Algebraic Geometry. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1977. — ISBN 978-0-387-90244-9.
Alan Huckleberry and Tilman Wurzbacher, eds. Infinite Dimensional Kähler Manifolds (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8.
A. Moroianu. Lectures on Kähler geometry. — Cambridge University Press, 2007. — Т. 69. — (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 978-0-521-68897-0.
A. Weil. Introduction à l'étude des variétés kählériennes. — 1958.