Ковариант Фробениуса (Tkfgjngum SjkQyunrvg)

Коварианты Фробениуса квадратной матрицы $A$ — специальные многочлены, а именно проекторы $A_{i}$ , связанные с собственными значениями и векторами матрицы $A$ ^[1]. Коварианты названы именем немецкого математика Фердинанда Георга Фробениуса.

Каждый ковариант является проектором на собственное пространство, связанное с собственным значением $\lambda _{i}$ . Коварианты Фробениуса являются коэффициентами формулы Сильвестра, которая выражает матричную функцию $f(A)$ как матричный многочлен.

Формальное определение

Пусть A будет диагонализируемой матрицей с собственными значениями $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}$ .

Ковариант Фробениуса $A_{i}$ для $i=1,\dots ,k$ — это матрица

A_{i}\equiv \prod _{j=1 \atop j\neq i}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}(A-\lambda _{j}E)~.

По существу, это многочлен Лагранжа с матрицей в качестве аргумента. Если собственное значение $\lambda _{i}$ простое, то, как матрица проецирования, не меняющая одномерного пространства, $A_{i}$ имеет единичный след.

Вычисление ковариантов

Фердинанд Георг Фробениус (1849—1917), немецкий математик, известный своим вкладом в теорию эллиптических функций, теорию дифференциальных уравнений и, позднее, в теорию групп.

Коварианты Фробениуса матрицы $A$ могут быть получены из любого спектрального разложения матрицы $A=SDS^{-1}$ , где $S$ не вырождена, а $D$ — диагональная матрица с $D_{ii}=\lambda _{i}$ . Если $A$ не имеет кратных собственных значений, то пусть $c_{i}$ будет $i$ -м правым собственным вектором матрицы $A$ , то есть $i$ -м столбцом матрицы $S$ . Пусть $r_{i}$ будет $i$ -м левым собственным вектором $A$ ( $i$ -й строкой матрицы $S^{-1}$ ). Тогда $A_{i}=c_{i}r_{i}$ .

Если $A$ имеет кратное собственное значение $\lambda _{i}$ , то $A_{i}=\sum _{j}{c_{j}r_{j}}$ , где суммирование ведётся по всем строкам и столбцам, связанным с собственным значением $\lambda _{i}$ ^[2].