Калибровочная дифференциальная форма (TglnQjkfkcugx ;nssyjyuengl,ugx skjbg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Калибровочная формадифференциальная форма на римановом многообразии. Инструмент в теории минимальных поверхностей позволяющий доказать минимальность площади.

Определение

[править | править код]

Замкнутая -форма на римановом многообразии назыетеся калибровочной если для любой ортонормированной системы из векторов выполняется неравенство

При этом если для -мерного подмногообразие в достигается равенство

для ортонормированного базиса в каждом касательном пространстве к , то говорят, что калибруется .

Если -мерного подмногообразие в калибруется формой , то минимизирует площадь среди всех ему гомологичных подмногообразий. Действительно, предположим гомологично , тогда

где первое равенство держится, потому что калибруется , второе равенство — по теореме теореме Стокса, а последнее неравенство справедливо, поскольку — калибровочная форма.

  • Bonan, Edmond (1965), "Structure presque quaternale sur une variété différentiable", C. R. Acad. Sci. Paris, 261: 5445—5448
  • Bonan, Edmond (1966), "Sur les variétés riemanniennes à groupe d'holonomie G2 ou Spin(7)", C. R. Acad. Sci. Paris, 262: 127—129.
  • Berger, M. (1970), "Quelques problemes de geometrie Riemannienne ou Deux variations sur les espaces symetriques compacts de rang un", Enseignement Math., 16: 73—96.
  • Brakke, Kenneth A. (1991), "Minimal cones on hypercubes", J. Geom. Anal.: 329–338 (§6.5).
  • Brakke, Kenneth A. (1993), Polyhedral minimal cones in R4.
  • de Rham, Georges (1957-1958), On the Area of Complex Manifolds. Notes for the Seminar on Several Complex Variables{{citation}}: Википедия:Обслуживание CS1 (формат даты) (ссылка).
  • Federer, Herbert (1965), "Some theorems on integral currents", Transactions of the American Mathematical Society, 117: 43—67.
  • Joyce, Dominic D. (2007), Riemannian Holonomy Groups and Calibrated Geometry.
  • Harvey, F. Reese (1990), Spinors and Calibrations.
  • Kraines, Vivian Yoh (1965), "Topology of quaternionic manifolds", Bull. Amer. Math. Soc., 71, 3, 1: 526—527.
  • Lawlor, Gary (1998), "Proving area minimization by directed slicing", Indiana U. Math. J., 47: 1547—1592.
  • Morgan, Frank, Lawlor, Gary (1996), "Curvy slicing proves that triple junctions locally minimize area", J. Diff. Geom., 44: 514—528{{citation}}: Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) (ссылка).
  • Morgan, Frank, Lawlor, Gary (1994), "Paired calibrations applied to soap films, immiscible fluids, and surfaces or networks minimizing other norms", Pac. J. Math., 166: 55—83{{citation}}: Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) (ссылка).
  • McLean, R. C. (1998), "Deformations of calibrated submanifolds", Communications in Analysis and Geometry, 6: 705—747.
  • Morgan, Frank (1988), "Area-minimizing surfaces, faces of Grassmannians, and calibrations", Amer. Math. Monthly, 95: 813—822.
  • Morgan, Frank (1990), "Calibrations and new singularities in area-minimizing surfaces: a survey In "Variational Methods" (Proc. Conf. Paris, June 1988), (H. Berestycki J.-M. Coron, and I. Ekeland, Eds.)", Prog. Nonlinear Diff. Eqns. Applns, 4: 329—342.
  • Morgan, Frank (2009), Geometric Measure Theory: a Beginner's Guide.
  • Thi, Dao Trong (1977), "Minimal real currents on compact Riemannian manifolds", Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Mat, 41: 807—820.
  • Van, Le Hong (1990), "Relative calibrations and the problem of stability of minimal surfaces", Lecture Notes in Mathematics, 1453: 245—262.
  • Wirtinger, W. (1936), "Eine Determinantenidentität und ihre Anwendung auf analytische Gebilde und Hermitesche Massbestimmung", Monatshefte für Mathematik und Physik, 44: 343–365 (§6.5).