Инвариант Хопфа (Nufgjngum }khsg)

Инвариант Хопфа — гомотопический инвариант отображений между сферами определённых размерностей. Предложен Хайнцем Хопфом в 1931 году.

Определение

Пусть $\varphi \colon S^{2n-1}\to S^{n}$ — непрерывное отображение (предположим $n>1$). Рассмотрим CW-комплекс

$C_{\varphi }=S^{n}\cup _{\varphi }D^{2n},$

где $D^{2n}$ есть $2n$-мерный диск, приклеенный к $S^{n}$ по отображению $\varphi$. Группы клеточных цепей $C_{\mathrm {cell} }^{*}(C_{\varphi })$ равны $\mathbb {Z}$ в размерностях 0, $n$ и $2n$, а иначе нули.

Обозначим образующие групп когомологий через

$H^{n}(C_{\varphi })=\langle \alpha \rangle$ и $H^{2n}(C_{\varphi })=\langle \beta \rangle .$

По размерным соображениям все произведения между этими классами должны быть тривиальными, кроме возможно $\alpha \smile \alpha$. Таким образом, кольцо когомологий $C_{\varphi }$ задаётся следующим образом

$H^{*}(C_{\varphi })=\mathbb {Z} [\alpha ,\beta ]/\langle \beta \smile \beta =\alpha \smile \beta =0,\alpha \smile \alpha =h(\varphi )\cdot \beta \rangle .$

Целое число $h(\varphi )$ и является инвариантом Хопфа отображения $\varphi$.

Свойства

• Отображение $h\colon \pi _{2n-1}(S^{n})\to \mathbb {Z}$ является гомоморфизмом.
  • Более того, если $n$ чётно, то образ $h$ содержит $2\mathbb {Z}$.

• Инвариант расслоений Хопфа равен $1$, где $n=1,2,4,8$, соответственно, соответствует вещественным алгебрам с делением $\mathbb {A} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O}$ и расслоению $S(\mathbb {A} ^{2})\to \mathbb {PA} ^{1}$, направляющему направление на сферу в подпространство, которое она охватывает.
  • Более того, с точностью до гомотопической эквивалентности это единственные отображения с единичным инвариантом Хопфа. Эта теорема была доказана сначала Фрэнком Адамсом, а затем Адамсом и Майклом Атией методами топологической K-теории.

• Инвариант Хопфа гладкого отображения $\varphi \colon S^{2n-1}\to S^{n}$, равен индексу зацепления в $\colon S^{2n-1}$ прообразов двух регулярных значений в $\varphi$ в $\varphi S^{n}$.

• Пусть $\omega$ — такая $n$-форма на $\mathbb {S} ^{n}$, что $\int _{\mathbb {S} ^{n}}\omega =1$. Tогда её понятие $\varphi ^{*}\omega$ точное, то есть $\phi ^{*}\omega =d\eta$ для некоторой $(n-1)$-формы $\eta$ на $\mathbb {S} ^{2n-1}$ и следующий интеграл равен инварианту Хопфа отображения $\varphi$

  $\ \ \int \limits _{\mathbb {S} ^{2n-1}}\eta \wedge d\eta .$

Литература

• Adams, J. Frank (1960), "On the non-existence of elements of Hopf invariant one", Annals of Mathematics, 72 (1): 20—104, doi:10.2307/1970147
• Adams, J. Frank (1966), "K-Theory and the Hopf Invariant", Quarterly Journal of Mathematics, 17 (1): 31—38, doi:10.1093/qmath/17.1.31
• Crabb. The geometric Hopf invariant  (неопр.).
• Shokurov, A.V. (2001), "Hopf invariant", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Математическая энциклопедия ХОПФА ИНВАРИАНТ