Задача об иголке состоит в определении минимальной площади фигуры на плоскости, в которой единичный отрезок, «иглу», можно развернуть на 180 градусов, вернув его в исходное положение с обращённой ориентацией.
Такое возможно проделать в круге радиуса 1/2.
Другой пример — фигура, ограниченная дельтоидой, — показан на картинке,
он имеет меньшую площадь.
Оказывается, что можно построить фигуру с произвольно малой площадью.
Возможно, Какея также выдвинул гипотезу, что фигура, ограниченная дельтоидой, как на рисунке, имеет наименьшую площадь.
Это утверждение было опровергнуто Безиковичем.
А. С. Безикович построил компактное множество нулевой меры, содержащее единичный отрезок в любом направлении.
Отсюда легко следует, что иглу можно развернуть в фигуре произвольно малой площади.
Действительно, легко видеть, что единичный круг можно разбить на секторы и одними параллельными переносами поместить в произвольно малую окрестность множества .
Заметим, что единичный отрезок можно передвинуть на параллельную прямую в фигуре произвольно малой площади.
Поэтому, повернув отрезок в одном секторе, его можно перетащить в следующий, пройдя по множеству произвольно малой площади; повторив эту операцию несколько раз, получим требуемый разворот.
В конструкции Безиковича при стремлении площади фигуры к нулю её диаметр стремится к бесконечности. В 1941 году Х. Дж. Ван Альфен показал[2], что иглу можно развернуть в фигуре сколь угодно малой площади, которая находится внутри круга с радиусом 2 + ε (для произвольного ε > 0).
Существуют односвязные подходящие (в которых можно развернуть иглу) множества с площадью меньшей, чем у фигуры, ограниченной дельтоидой.
Такие примеры были найдены в 1965 году. Мелвин Блум и И. Ю. Шенберг показали, что их площадь можно сделать произвольно близкой к .
В 1971 году Каннингем показал[3], что для любого ε > 0 существует подходящая односвязная фигура с площадью менее , содержащаяся в круге радиуса 1.
Пример множества Безиковича.
Определим множество Безиковича в Rn как множество нулевой меры, содержащее единичный отрезок в любом направлении (такое множество также называется множеством Какея, или множеством Какейя). Так называемая гипотеза Какея утверждает, что множества Безиковича имеют размерность n (по Хаусдорфу и по Минковскому), то есть равна размерности объемлющего пространства.
Вольфф показал[5], что в n-мерном пространстве размерность множества Безиковича должна быть по крайней мере (n+2)/2.
В 2002 году Кац и Тао улучшили оценку Вольффа[6], показав, что размерность не может быть меньше . Эта оценка лучше для n > 4.
Определим (n, k)-множество Безиковича как компактное множество в Rn нулевой меры, содержащее в каждом k-мерном направлении k-мерный единичный диск.
Гипотеза про (n, k)-множества Безиковича: (n, k)-множеств Безиковича не существует при k > 1.
В 1979 году Марстранд доказал[7], что не существует (3, 2)-множества Безиковича.
Примерно в то же время, Фолкнер доказал[8], что нет (n, k)-множеств для 2k > n.
Лучшая оценка на сегодня принадлежит Бургейну, который доказал[9], что множества, у которых 2k-1 + k > n, не существуют.
В 1997[10] и 1999[11] году Вольфф доказал, что множества, содержащие сферу любого радиуса, должны иметь полную размерность, то есть размерность объемлющего пространства.
Элиас Штайн доказал[12], что любое множество, содержащее сферу вокруг каждой точки, должно иметь положительную меру при n ≥ 3, и Марстранд доказал[13] то же для случая n = 2.
В 1999 году Вольфф сформулировал аналог задачи об игле для конечных полей. Пусть F — конечное поле. Множество K ⊆ Fn называется множеством Безиковича, если для каждого вектора y∈Fn существует такой x∈Fn, что K содержит все вектора вида {x + ty : t ∈ F}.
Задача об игле в пространстве над конечным полем: Число элементов в K не меньше cn|F|n, где cn>0 — константа, которая зависит только от n.
Двир[14][15] доказал эту гипотезу для cn = 1/n!, используя следующий аргумент. Двир отметил, что любой многочлен с n переменными степени менее чем |F|, который равен нулю на множестве Безиковича, должен быть тождественно равен нулю. С другой стороны, многочлены с n переменными степени менее чем |F| образуют векторное пространство размерности
Следовательно, существует хотя бы один нетривиальный многочлен степени меньше, чем |F|, который равен нулю на произвольном множестве с меньшим числом точек. Отсюда множество Безиковича должно иметь хотя бы |F|n/n! точек. Двир написал обзорную статью об этой задаче.[14]
В 1971 году Фефферман использовал[16] построение множества Безиковича, чтобы показать, что в размерности большей, чем 1, усеченные интегралы Фурье, взятые по шарам с центром в начале координат с радиусами, стремящимися к бесконечности, могут не сходиться по норме Lp при р ≠ 2 (в отличие от одномерного случая, где такие усеченные интегралы сходятся).
↑Davies, Roy. Some remarks on the Kakeya problem // Proc. Cambridge Philos. Soc.. — 1971. — Т. 69, вып. 3. — С. 417–421. — doi:10.1017/S0305004100046867.
↑Wolff, Thomas. An improved bound for Kakeya type maximal functions // Rev. Mat. Iberoamericana. — 1995. — Т. 11. — С. 651–674. — doi:10.4171/rmi/188.
↑Katz, Nets Hawk; Tao, Terence. New bounds for Kakeya problems // J. Anal. Math.. — 2002. — Т. 87. — С. 231–263. — doi:10.1007/BF02868476.
↑Marstrand, J. M. Packing Planes in R3 // Mathematika. — 1979. — Т. 26, вып. 2. — С. 180–183. — doi:10.1112/S0025579300009748.
↑Falconer, K. J. Continuity properties of k-plane integrals and Besicovitch sets // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.. — 1980. — Т. 87, вып. 2. — С. 221–226. — doi:10.1017/S0305004100056681.
↑Bourgain, Jean. Besicovitch type maximal operators and applications to Fourier analysis // Geom. Funct. Anal.. — 1997. — Т. 1, вып. 2. — С. 147–187. — doi:10.1007/BF01896376.
↑Wolff, Thomas. A Kakeya problem for circles // American Journal of Mathematics. — 1997. — Т. 119, вып. 5. — С. 985–1026. — doi:10.1353/ajm.1997.0034.
↑Marstrand, J. M. Packing circles in the plane // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1987. — Т. 55. — С. 37–58. — doi:10.1112/plms/s3-55.1.37.
↑Fefferman, Charles. The multiplier problem for the ball // Annals of Mathematics. — 1971. — Т. 94, вып. 2. — С. 330–336. — doi:10.2307/1970864.JSTOR1970864
Falconer, Kenneth J. (1985). The Geometry of Fractal Sets. Cambridge Tracts in Mathematics 85. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-25694-1. MR0867284.
Kakeya, Soichi (1917). «Some problems on maximum and minimum regarding ovals». Tohoku science reports6: 71-88.
Wolff, Thomas (1999). «Recent work connected with the Kakeya problem». In Rossi, Hugo. Prospects in Mathematics: Invited Talks on the Occasion of the 250th Anniversary of Princeton University. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 129—162. ISBN 978-0-8218-0975-4. MR1660476.
Wolff, Thomas (2003). Łaba, Izabella; Shubin, Carol, eds. Lectures on Harmonic Analysis. University Lecture Series 29. With a foreword by Charles Fefferman and preface by Izabella Łaba. Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/ulect/029. ISBN 0-8218-3449-5. MR2003254.
