Дельта-метод (статистика) (:yl,mg-bymk; (vmgmnvmntg))

Перейти к навигации Перейти к поиску

Дельта-методстатистике) — вероятностное распределение функции от асимптотически нормальной статистической оценки при известной асимптотической дисперсии этой оценки.

Одномерный дельта-метод

[править | править код]

Хотя дельта-метод легко обобщается до многомерного случая, аккуратное обоснование этой техники проще продемонстрировать в одномерной постановке задачи. Грубо говоря, если существует последовательность случайных величин Xn , удовлетворяющая:

где θ и σ2 - конечные константы, а  обозначает сходимость по распределению, то верно:

для любой функции g, такой, что  g′(θ) существует, принимает ненулевые значения, и полиномиально ограничена случайной величиной[1].

Доказательство в одномерном случае

[править | править код]

Демонстрация этого результата довольно очевидна в предположении, что g′(θ) непрерывна

По формуле Лагранжа:

где  лежит между Xn и θ.

Поскольку   и, то  , и поскольку g′(θ) непрерывна, применение теоремы о непрерывном отображении даёт:

где  обозначает сходимость по вероятности.

Перестановка слагаемых и умножение на   даёт

Так как по предположению, то применение теоремы Слуцкого даёт

Это завершает доказательство.

Доказательство с явным порядком приближения

[править | править код]

Как вариант, можно добавить ещё один шаг в конце, чтобы выразить степень приближения.

Это говорит о том, что ошибка аппроксимации сходится к 0 по вероятности.

Многомерный дельта-метод

[править | править код]

По определению, состоятельная оценка B сходится по вероятности к своему истинному значению β, и зачастую можно применить центральную предельную теорему, чтобы получить асимптотически нормальную оценку:

где n -- число наблюдений и Σ -- (симметричная, положительно определённая) ковариационная матрица. Предположим, мы хотим оценить дисперсию скалярной функции h от оценки B. Возьмём первых два члена ряда Тейлора и используя векторную нотацию градиента, мы можем оценить h(B) как

что означает, что дисперсия h(B) примерно

Можно использовать формулу конечных приращений (для действительнозначных функций нескольких переменных), чтобы увидеть, что это не влияет на приближения в первом порядке[[{{{1}}}|?]].

Дельта метод утверждает, что

или в одномерном случае:

Примечания

[править | править код]
  1. Oehlert, G. W. (1992).