Теорема Слуцкого (Mykjybg Vlretkik)

Эта статья — о результате о сходимости случайных величин. О теореме Слуцкого об эргодичности см. Условие Слуцкого.

Теоре́ма Слу́цкого — утверждение теории вероятностей, связывает сходимость по вероятности и сходимость по распределению случайных величин. Установлена Евгением Слуцким в 1925 году, но иногда в западной литературе результат относят к Харальду Крамеру (теорема Крамера о сходимости случайных величин).

В формулировке для вероятностного пространства $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ и случайных величин $X_{n},Y_{m}:\Omega \to \mathbb {R}$ ($n,m\in \mathbb {N}$), если $X_{n}$ сходится по распределению к случайной $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ ($X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X$), а $Y_{n}$ сходится по вероятности к вещественной константе $c\in \mathbb {R}$ ($Y_{m}\to ^{\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }c$), то выполнено:

$X_{n}+Y_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X+c$,

$X_{n}\cdot Y_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}c\cdot X$.

Таким образом, теорема обеспечивает возможность складывать и умножать сходящиеся по распределению и по мере случайные величины. Результат может быть обобщён до произвольной двухместной непрерывной функции: если (в предположениях классической теоремы) имеется непрерывная функция $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$, то:

$f(X_{n},Y_{n})\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}f(X,c)$.

Теорема и обобщение могут быть рассмотрены как прямое следствие теоремы Манна — Вальда.

Литература

• Биллингсли П.. Сходимость вероятностых мер. — М.: Наука, 1977. — 352 с.