Главное расслоение (Ilgfuky jgvvlkyuny)

Главное расслоение — расслоение, соответствующее свободному действию группы на пространстве. Главные расслоения играют важную роль в математической формулировке калибровочных теорий.

Определение

Пусть $G$ — топологическая группа. Главным расслоением со структурной группой $G$ (или $G$ -главным расслоением) называют локально тривиальное расслоение $\pi :P\to X$ , снабжённое непрерывным правым действием группы $P\times G\to P$ , сохраняющим слои и действующим на них свободно и транзитивно. Соответственно, слой расслоения гомеоморфен $G$ , а база $X$ — множеству орбит $P/G$ .

Ассоциированное расслоение

Расслоение ассоциированное с данным $G$ -главным расслоением, имеет ту же структурную группу и функции перехода, но другой слой $F$ . Точнее, пусть $\pi :P\to X$ — главное расслоение, $\rho :G\to \mathrm {Homeo} (F)$ — непрерывное левое действие структурной группы на топологическом пространстве $F$ . Определим правое действие $G$ на $P\times F$ :

(p,f)\cdot g=(p\cdot g,\rho (g^{-1})f)\,.

Рассмотрим факторпространство $A=(P\times F)/G$ и определим проекцию $\pi _{A}([p,f])=\pi (p)$ . Тогда $\pi _{A}:A\to X$ — локально тривиальное расслоение со структурной группой $G$ , называемое ассоциированным с $P$ .

В теории калибровочных полей связности Эресманна^[англ.] на главном расслоении соответствует калибровочное поле, а сечениям ассоциированного расслоения — поля материи.

Свойства

Главное расслоение тривиально (то есть изоморфно $P\times G$ ) тогда и только тогда, когда оно имеет глобальное сечение $\sigma :X\to P$ .

Примеры

Расслоение реперов $FM$ многообразия $M$ , имеющее структурную группу $\mathrm {GL} (\dim M)$ .
Пусть $G$ — группа Ли, $H$ — некоторая её замкнутная подгруппа. Тогда мы получаем главное расслоение с базой $G/H$ , структурной группой $H$ и проекцией $\pi :G\to G/H$ .
Расслоение Хопфа — главное расслоение с базой $S^{2}$ , структурной группой $\mathrm {U} (1)\simeq S^{1}$ и тотальным пространством $S^{3}$ .
Регулярное накрытие $p:C\to X$ является главным расслоением со структурной группой $\pi _{1}(X)/p_{*}(\pi _{1}(C))$ , действующей монодромией. В частности, универсальное накрытие $X$ является главным расслоением, причем его структурная группа — фундаментальная группа базы $\pi _{1}(X)$ .

Литература

Bleecker, David. Gauge Theory and Variational Principles. — Addison-Wesley Publishing, 1981. — ISBN 0-486-44546-1.
Jost, Jürgen. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. — (4th ed.). — New York : Springer, 2005. — ISBN 3-540-25907-4.
Husemoller, Dale. Fibre Bundles. — Third. — New York : Springer, 1994. — ISBN 978-0-387-94087-8.
Sharpe, R. W. Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. — New York : Springer, 1997. — ISBN 0-387-94732-9.
Steenrod, Norman. The Topology of Fibre Bundles. — Princeton : Princeton University Press, 1951. — ISBN 0-691-00548-6.