Гипотеза Морделла (Inhkmy[g Bkj;yllg)

Гипотеза Морделла — гипотеза о конечности множества рациональных точек на алгебраической кривой рода $g>1$ , выдвинутая Луисом Морделлом в 1922 году. Позже гипотеза была обобщена с поля $\mathbb {Q}$ рациональных чисел на произвольное числовое поле. Была доказана Гердом Фальтингсом в 1983 году и теперь также называется теоремой Фальтингса.

Предпосылки

Пусть $C$ — неособая алгебраическая кривая над полем $\mathbb {Q}$ . Множество рациональных точек кривой $C$ зависит от её рода $g$ следующим образом:

Случай $g=0$ : рациональных точек нет, либо их бесконечно много; $C$ является коническим сечением.
Случай $g=1$ : рациональных точек нет, либо $C$ является эллиптической кривой, а её рациональные точки образуют конечнопорождённую абелеву группу. Это следует из теоремы Морделла, позднее обобщённой до теоремы Морделла — Вейля^[англ.]. Кроме того, теорема Мазура о кручении ограничивает возможную структуру подгруппы кручения.
Случай $g>1$ : согласно выдвинутой Морделлом гипотезе, $C$ может иметь лишь конечное число рациональных точек.

Доказательство

В 1962 году Шафаревич высказал гипотезу о конечности, с точностью до изоморфизма, множества алгебраических кривых, имеющих заданный род $g>1$ , поле определения $K$ и множество точек плохой редукции $S$ . В 1968 году Паршин показал, как гипотезу Морделла можно свести к указанной гипотезе конечности Шафаревича.

В 1983 году Фальтингс доказал гипотезу конечности Шафаревича, используя известный способ сведения гипотезы к случаю гипотезы Тейта^[англ.] и инструменты алгебраической геометрии, включая теорию моделей Нерона^[англ.].

Другое доказательство, основанное на диофантовых аппроксимациях, было дано Паулем Войта^[англ.]. Позднее оно было упрощено Фальтингсом и Энрико Бомбьери.

Следствия

Фальтингс в своей работе 1983 года доказал несколько утверждений, ранее считавшихся гипотезами:

Гипотезу Морделла о том, что кривая рода больше чем 1 над числовым полем имеет лишь конечное число рациональных точек.
Гипотезу Шафаревича о существовании лишь конечного, с точностью до изоморфизма, множества абелевых многообразий заданных размерности и степени поляризации над фиксированным числовым полем, имеющих хорошую редукцию всюду вне заданного конечного множества точек этого поля.
Теорему об изогении абелевых многообразий, имеющих изоморфные модули Тейта.

Простейшее приложение теоремы Фальтингса — это слабая форма Великой теоремы Ферма: для любого выбранного $n\geq 4$ существует лишь конечное число взаимно простых решений уравнения $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ , поскольку для таких n кривая Ферма $x^{n}+y^{n}=1$ имеет род, больший 1.

Обобщения

В силу теоремы Морделла — Вейля, теорема Фальтингса может быть переформулирована как утверждение о пересечении кривой $C$ с конечнопорождённой подгруппой $\Gamma$ абелева многообразия $A$ . Заменяя $C$ на произвольное подмногообразие $A$ и $\Gamma$ на произвольную подгруппу конечного ранга $A$ , мы получаем обобщение, ведущее к гипотезе Морделла — Ленга, которая была доказана.

Другое обобщение теоремы Фальтингса — это Гипотеза Бомбьерри — Ленга, утверждающая, что если $X$ — псевдоканоническое многообразие (то есть многообразие общего типа) над конечным полем $k$ , то множество $k$ -рациональных точек $X(k)$ нигде не плотно в топологии Зарисского в $X$ . Дальнейшие обобщения гипотезы были выдвинуты Паулем Войта.

Гипотеза Морделла для полей функций была доказана Маниным в 1963 году и Грауэртом в 1965 году. Коулман^[англ.] в 1990 году нашёл и исправил пробел в доказательстве Манина.

Литература

Mordell, L. J. On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees. Cambr. Phil. Soc. Proc. 21, 179—192 (1922).
Faltings, G. Die Vermutungen von Tate und Mordell. Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 86 (1984), no. 1, 1—13.
А. Ю. Вайнтроб, А. Б. Сосинский. «Доказательство гипотезы Морделла». — Квант, 1984. — № 3.
Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.

Ссылки

Bombieri, Enrico. The Mordell conjecture revisited // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci.. — 1990. — Т. 17, № 4. — С. 615—640.
Coleman, Robert F. Manin's proof of the Mordell conjecture over function fields (англ.) // L'Enseignement Mathematique. Revue Internationale. IIe Serie : journal. — 1990. — Vol. 36, no. 3. — P. 393—427. — ISSN 0013-8584. Архивировано 2 октября 2011 года. Архивная копия от 2 октября 2011 на Wayback Machine
Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. Arithmetic geometry. — New York: Springer, 1986. — ISBN 0-387-96311-1. > Contains an English translation of Faltings (1983)
Faltings, Gerd. Endlichkeitssatze fur abelsche Varietaten uber Zahlkorpern (нем.) // Inventiones Mathematicae : magazin. — 1983. — Bd. 73, Nr. 3. — S. 349—366. — doi:10.1007/BF01388432.
Grauert, Hans. Mordells Vermutung uber rationale Punkte auf algebraischen Kurven und Funktionenkorper (нем.) // Publications Mathematiques de l'IHES : magazin. — 1965. — Nr. 25. — S. 131—149. — ISSN 1618-1913.
Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. Diophantine geometry. — Springer-Verlag, 2000. — Т. 201. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-98981-1. > Gives Vojta’s proof of Falting’s Theorem.
S. Lang. Survey of Diophantine geometry. — Springer-Verlag, 1997. — С. 101—122. — ISBN 3-540-61223-8.
Manin, Ju. I. Rational points on algebraic curves over function fields (англ.) // Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya : journal. — 1963. — Vol. 27. — P. 1395—1440. — ISSN 0373-2436.
Mordell, Louis J. On the rational solutions of the indeterminate equation of the third and fourth degrees (англ.) // Proc. Cambridge Philos. Soc.^[англ.] : journal. — 1922. — Vol. 21. — P. 179—192.. — «».
Parsin, A. N. Quelques conjectures de finitude en geometrie diophantienne // Actes du Congres International des Mathematiciens (Nice, 1970), Tome 1. — Gauthier-Villars, 1971. — С. 467—471.
Parshin, A. N. (2001), "M/m064910", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4