Бином Ньютона (>nukb U,Zmkug)
Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид
где — биномиальные коэффициенты, — неотрицательное целое число.
В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа). В общем случае бином представляет собой бесконечный ряд .
Примеры:
Для быстрого разложения часто пользуются треугольником Паскаля.
Доказательство
[править | править код]Чтобы умножить скобки, нужно взять из каждой по одному слагаемому и все полученные произведения сложить. Для получения степени нужно из скобок выбрать , а из оставшихся выбрать . Вариантов выбрать в первый раз столько же, сколько и скобок, то есть . Затем, соответственно, , и так далее до на -м шаге. Однако для каждого варианта посчитаются и все его порядковые перестановки, число которых . Нормируя, получаем в точности . Ниже приводится доказательство по индукции.
Докажем формулу бинома Ньютона индукцией по :
База индукции:
Шаг индукции: Пусть утверждение для верно:
Тогда надо доказать утверждение для :
Начнём доказательство:
Извлечём из первой суммы слагаемое при
Извлечём из второй суммы слагаемое при
Теперь сложим преобразованные суммы:
Что и требовалось доказать. ■
Обобщения
[править | править код]Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции в ряд Тейлора:
где может быть произвольным комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле
При этом ряд
сходится при .
В частности, при и получается тождество
Переходя к пределу при и используя второй замечательный предел , выводим тождество
которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.
Мультиномиальная теорема
[править | править код]Бином Ньютона может быть обобщён до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:
где
суть Мультиномиальные коэффициенты. Сумма берётся по всем неотрицательным целым индексам , сумма которых равна (то есть по всем композициям числа длины ). При использовании полинома Ньютона считается, что выражения , даже если .
Мультиномиальная теорема легко доказывается либо индукцией по , либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла полиномиального коэффициента.
При , выражая , получаем бином Ньютона.
Полные полиномы Белла
[править | править код]Пусть и , тогда полные полиномы Белла обладают биномиальным разложением:
История
[править | править код]Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также персидским математикам ат-Туси (XIII век) и аль-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.
Исаак Ньютон около 1665 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). На основе биномиального разложения Ньютон, а позднее Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.
В художественной литературе
[править | править код]В художественной литературе «бином Ньютона» часто фигурирует как синоним чего-то очень сложного (нередко иронически)[1]. Например, в романе «Мастер и Маргарита» М. А. Булгакова: «подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвёртой палате».
В повести «Последнее дело Холмса» Шерлок Холмс рассказывает о профессоре Мориарти, в частности, следующее: «…когда ему исполнился 21 год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность…»
См. также
[править | править код]- Биномиальное распределение
- Биномиальный коэффициент
- Треугольник Паскаля
- Формулы сокращённого умножения многочленов — наиболее частые частные случаи бинома Ньютона
Примечания
[править | править код]- ↑ Успенский В. А. Предварение для читателей «Нового литературного обозрения» к семиотическим посланиям Андрея Николаевича Колмогорова // Новое литературное обозрение. — 1997. — № 24. Архивировано 14 июня 2011 года.
Литература
[править | править код]- Бином Ньютона // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Ссылки
[править | править код]- Ньютона бином // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.