Аксиома зависимого выбора (Gtvnkbg [gfnvnbkik fdQkjg)

Аксио́ма зави́симого вы́бора — одно из ослаблений аксиомы выбора. Обычно обозначается как $\mathbf {DC}$. Аксиома зависимого выбора следует из полной аксиомы выбора ($\mathbf {AC}$) и влечёт за собой аксиому счётного выбора ($\mathbf {AC} _{\omega }$), таким образом, в $\mathbf {ZF}$ (аксиоматике Цермело — Френкеля) $\mathbf {AC} _{\omega }<\mathbf {DC} <\mathbf {AC}$.

Формулировка: если задано произвольное непустое множество $X$ с полным слева отношением $R$ (отношение $R$ называется полным слева, если для любого $x$ существует $y$, что $xRy$), то существует такая последовательность $x_{n}$ элементов $X$, что:

$\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}Rx_{n+1}$.

Следующие утверждения эквивалентны в $\mathbf {ZF}$ аксиоме зависимого выбора: теорема Бэра о категориях; теорема Лёвенгейма — Скулема (в сильном варианте для счётных или конечных сигнатур); лемма Цорна для конечных цепей. У леммы Цорна для конечных цепей есть две эквивалентных формулировки:

• если в частично упорядоченном множестве все цепи конечны, то множество имеет максимальный элемент.;
• если в частично упорядоченном множестве все вполне упорядоченные цепи конечны, то множество имеет максимальный элемент.

(Несмотря на то, что вторая формулировка сильнее, чем первая, они эквивалентны в $\mathbf {ZF}$.)

Обобщения

Аксиома зависимого выбора для трансфинитных последовательностей: если в формулировке аксиомы зависимого выбора допустить не только счётные последовательности, но и трансфинитные, можно получить усиление этой аксиомы.

Пусть $\gamma$ — некоторый ординал. Обозначим за $X^{<\gamma }$ множество всех трансфинитных последовательностей длины меньше $\gamma$. Аксиома зависимого выбора для трансфинитных последовательностей формулируется для определённого начального ординала $\lambda$ и обозначается как $\mathbf {DC} _{\lambda }$.

Пусть задано непустое множество $X$ и полное слева бинарное отношение $R\subset X^{<\gamma }\times X$. Тогда $\mathbf {DC} _{\lambda }$ утверждает, что существует трансфинитная последовательность $\{a_{n}\}_{n<\lambda }$ длины $\lambda$ такая, что $\forall \mu <\lambda \colon \{a_{n}\}_{n<\mu }Ra_{\mu }$.

Аксиома $\mathbf {DC} _{\omega }$ эквивалентна $\mathbf {DC}$. Обобщения же для больших ординалов строго сильнее её, но слабее полной аксиомы выбора: $\mathbf {DC} <\mathbf {DC} _{\omega _{1}}<\mathbf {DC} _{\omega _{2}}<\ldots <\mathbf {AC}$. Выполнение же $\mathbf {DC} _{\lambda }$ для любых начальных ординалов эквивалентно полной аксиоме выбора: $(\forall \lambda \colon \mathbf {DC} _{\lambda })\Leftrightarrow \mathbf {AC}$.

Для аксиом $\mathbf {DC} _{\lambda }$ есть соответствующие им эквивалентные ослабления леммы Цорна:

• если в частично упорядоченном множестве все цепи вполне упорядочены, имеют порядковый тип меньше $\lambda$ и имеют верхнюю грань, то в множестве есть максимальный элемент;
• если в частично упорядоченном множестве каждая вполне упорядоченная цепь имеет порядковый тип меньше $\lambda$ и имеет верхнюю грань, то в множестве есть максимальный элемент.

Литература

• Wolk Elliot S. On the principle of dependent choices and some forms of Zorn's lemma (англ.) // Canadian Mathematical Bulletin : журнал. — 1983. — Vol. 26, no. 3. — P. 365–367. — doi:10.4153/CMB-1983-062-5.
• Blair Charles E. The Baire category theorem implies the principle of dependent choices // Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astron. Phys. : журнал. — 1977. — Т. 25, № 10. — С. 933–934.
• Moore Gregory H. Zermelo's Axiom of Choice: Its origins, development, and influence. — Springer, 1982. — ISBN 0-387-90670-3.
• Boolos George S., Jeffrey Richard C. Computability and Logic. — 3rd. — Cambridge University Press, 1989. — ISBN 0-521-38026-X.