Propositiones ad Acuendos Juvenes (Propositiones ad Acuendos Juvenes)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Propositiones ad Acuendos Juvenes (с лат. — «Задачи для оттачивания молодого ума») — средневековая рукопись с самой ранней известной коллекцией занимательных математических задач. Написана на латыни[1]. Самая старая известная копия рукописи датируется концом 9-го века. Авторство приписывают Алкуину (около 735—804). Некоторые версии рукописи содержат 53 задачи, а некоторые — 56 задач.

История рукописи

[править | править код]

Первое упоминание об этой коллекции математических головоломок можно найти в письме Алкуина, отправленного в 799 или 800 Карлу Великому. Оно гласит: «Misi excellentiae vestrae… aliquas figuras arithmeticae subtilitatis, laetitiae causa» (я послал Вашему Величеству… несколько простых арифметических задач, для забавы.)

В настоящее время известно 12 версий рукописи [2], самая старая из которых датируется концом 9-го века и содержит 56 задач, но является неполной, поскольку приведены не все решения.

Имя Время происхождения Происхождение Место, где рукопись хранится в настоящее время
R1 конец 9 века монастырь Сен Дени Ватиканская библиотека
O конец 10 века Западная Германия / Восточная Франция Ватиканская библиотека
A конец 10 века Монастырь Рейхенау Государственная библиотека Бадена, Карлсруэ
W около 1010 монастырь Святого Манго, Фисен Национальная библиотека Австрии, Вена
M2 около 1020 монастырь Святого Эмерама / Шартр Баварская государственная библиотека, Мюнхен
V 1020 Аббатство Святого Марциального, Лимож Университетская библиотека, Лейден
B первая половина 11 века Западная Германия / Восточная Франция Британский музей, Лондон
M первая половина 11 века Восточная Франция Университетская библиотека, Монпелье
R 11 век монастырь в Орлеане Ватиканская библиотека
M1 12 век монастырь Святого Эмерама Баварская государственная библиотека, Мюнхен
C 13 век собор в Сент Олбанс Британский музей, Лондон
S 15 век аббатство в Девоне Британский музей, Лондон

Первая печатная версия Propositiones, насчитывающая 53 задачи, издана Johannes Herwagen в 1563 г.[3] и перепечатана в Патрологии Миня [4]

Другой известный вариант Propositiones можно найти в сборнике произведений Беды Достопочтенного, опубликованного в Патрологии Миня[5]. В настоящее время авторство Беды специалистами не признается. Этот вариант включает в себя 3 дополнительные задачи: две после задачи 11 и одну — после задачи 33.

Современное издание Propositiones выполнено Менсо Фолкертсом в 1978 г.[2]. Фолкертс произвел поиск всех сохранившихся рукописей и печатных изданий и проанализировал их.

Опубликованы следующие переводы Propositiones:

  • на английский язык, выполненный Джоном Хэдли в 1992 г., с комментариями, подготовленными совместно с Дэвидом Сингмастером[6].
  • на английский язык, выполненный Питером Беркхолдером с его комментариями[7].
  • на немецкий язык с комментариями, подготовленными Menso Folkerts и Helmut Gerike[8]
  • на итальянский язык с комментариями — работа Рафаэллы Франчи, профессора математики и истории математики в Сиенском университете[9]. Текст был опубликован в виде отдельной книги в 2005 г., а в 2016 г. он вышел во втором исправленном и дополненном издании.
  • на сербский язык был выполнен Александрой Равас в 2019 г. Этот текст, с введением Питера Беркхолдера и приложением, содержащим тексты Рафаэля Франчи и Николая Золотых, был опубликован в виде отдельной книги Математическим обществом «Архимед».

Задачи

[править | править код]

Сборник содержит самые ранние из известных упоминаний нескольких типов задач,

  • включая 3 задачи о переправе:
    • Задача 17: о ревнивых мужах. В версии Алкуина трое мужчин, каждый со своей сестрой, должны переправиться в лодке через реку. Лодка вмещает только двоих. Ни одна женщина не может находиться в лодке с чужим мужчиной.[6], p. 111.
    • Задача 18: о волке, козе и капусте[6], p. 112., и
    • Задача 19: о мужчине, женщине и их двух детях. Муж и жена, равного веса, и двое их детей, каждый в половину веса взрослого, должны переправиться через реку в одной лодке. Лодка вмещает только по весу одного взрослого[6], p. 112.
  • задача о бутылях:
    • Задача 12: Один человек оставил в наследство трем своим сыновьям 30 стеклянных бутылей: 10 из которых были заполнены маслом, 10 заполнены на половину и 10 пустые. Необходимо разделить между тремя сыновьями бутыли так, чтобы каждому досталось поровну бутылей и масла.[6], p. 109. Число решений этой задачи для n бутылей есть член последовательности Алкуина.
  • вариант задачи о джипе:
    • Задача 52: Один человек приказал перевести 90 мер зерна из одного его дома в другой за 20 лиг от него. Весь груз может быть переправлен на верблюде за 3 поездки, причем верблюд съедает одну меру зерна за лигу. Сколько мер зерна останется?[6], pp. 124–125.
  • и три задачи об упаковке[10]:
    • Задача 27: о четырехстороннем городе. Есть четырехугольный город, который имеет одну сторону в 1100 футов; противоположную — 1000 футов; во фронте — 600 футов и с противоположной стороны — 600 футов. Требуется разместить в нем дома, каждый по 40 футов в длину и 30 футов в ширину. Сколько домов вмещает город?
    • Задача 28: о треугольном городе. Есть треугольный город, который имеет по одной стороне 100 футов, и по другой стороне 100 футов, а по фронту — 90 футов. Необходимо расположить в этом городе дома длиной 20 футов и шириной 10 футов.
    • Задача 29: о круглом городе. Есть круглый город в 8000 футов в окружности. Требуется расположить в этом городе дома в 30 футов длины и 20 ширины.

Некоторые другие задачи:

  • Задача 5: Покупатель хочет купить 100 свиней за 100 денариев: взрослого кабана — по 10 денариев, свинью — за 5 денариев, поросенка — по полденария. Сколько кабанов, свиней и поросят он купил? Эта задача уже была известна в Китае по крайней мере в 5 веке и встречается в индийский и арабских текстах того времени.[6], p. 106.
  • Задачи 32, 33, 34, 38, 39, and 47[11] подобны этой задаче. В них требуется разделить данное количество денег или еды среди людей или животных 3 типов. Задачи сводятся к решению систем двух линейных уравнений с тремя неотрицательными целочисленными неизвестными. Во всех случаях в манускрипте приводятся корректные решения, но не сказано, как эти решения были найдены. Также не оговаривается вопрос о числе возможных решений.
  • Задача 26: Есть полей 150 футов длиной. На одном его конце стоит собака, на другом — заяц. Собака гонится за зайцем. За один прыжок она перемещается на 9 футов, а заяц — на 7 футов. Сколько прыжков сделает собака, прежде чем догонит зайца? Задачи этого типа датируются 150 г. до н.э., но это первый известный европейский пример.[6], p. 115.
  • Задача 42: На лестнице 100 ступеней. На первую сел голубь, на вторую — 2 голубя, на третью — 3 голубя и т.д. Сколько голубей всего? Задача сводится к нахождению суммы арифметической прогрессии. Алкуин предлагает сложить вместе число голубей на первой и 99-й ступенях, затем на второй и 98-й, затем на 3-й и 97-й и т.д. Каждый раз будет получаться 100. Всего таких пар 49. А 50-я и 100-я ступени останутся без пары. Итого получаем 100×49 + 100 + 50 = 5050 голубей.[6], p. 121.
  • Задача 43: У одного человека 300 свиней. Он приказал зарезать их за 3 дня, так, чтобы каждый день было зарезано нечетное количество свиней. Сколько свиней было зарезано в каждый день? Это задача только чтобы подразнить юношей. Никто не сможет выполнить всех условий задачи. Сумма трех нечетных чисел не может быть четной![6], p. 121.
  • Задача 14: Сколько следов от копыт оставил бык, если он пахал весь день?[11] Ни одного, так как за ним шел плуг, который все следы стер.

Ссылки

[править | править код]
  1. ↑ Alcuin (735—804) Архивная копия от 21 августа 2019 на Wayback Machine, David Darling, The Internet Encyclopedia of Science. приступљено 21. маја 2019.
  2. ↑ 1 2 Folkerts, Menso: Die ¨alteste mathematische Aufgabensammlung in lateinischer Sprache: Die Alkuin zugeschriebenen Propositiones ad acuendos iuvenes. Osterreichische Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse, Denkschriften 116 (1978): 13–80.
  3. ↑ Herwagen, Joannes (Hrsg.): Venerabilis Bedae, Anglo-Saxonis Presbyteri. Opera omnia. Pars prima, Sectio II – dubia et spuria: De Arithmeticis propositionibus, tomus 1. Basel 1563, Band 1, Spalte 135–146.
  4. ↑ Migne J.-P. (Hrsg.): Patrologiae Cursus Completus: Patrologiae Latinae, Tomus 101, Beati Flacci Albini seu Alcuini, Abbatis et Caroli Magni Imperatoris Magistri, Opera Omnia: Operum pars octava: Opera dubia. Paris, 1863, colonnes 1143–1160.
  5. ↑ Migne J.-P. (Hrsg.): Patrologiae Cursus Completus: Patrologiae Latinae, Tomus 90, Venerabilis Bedae, Opera Omnia. Paris, 1862, colonnes 665—676.
  6. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Problems to Sharpen the Young Архивная копия от 6 марта 2019 на Wayback Machine, John Hadley and David Singmaster, The Mathematical Gazette, 76, #475 (March 1992), pp. 102–126.
  7. ↑ HOST: An Electronic Bulletin for the History and Philosophy of Science and Technology, 1, #2 (Spring/Summer; June 1993), ISSN 1192-084X.
  8. ↑ Folkerts, Menso; Gericke, Helmuth: Die Alkuin zugeschriebenen Propositiones ad acuendos iuvenes: Aufgaben zur Sch¨arfung des Geistes der Jugend. Birkh¨auser, 1993.
  9. ↑ Raffaella Franci, Giochi matematici alla corte di Carlomagno. Problemi per rendere acuta la mente dei giovani, Edizioni ETS, Pisa (2005) ISBN 88-467-1351-6 141 pp.
  10. ↑ Nikolai Yu. Zolotykh, Alcuin's Propositiones de Civitatibus: the Earliest Packing Problems. arXiv preprint arXiv:1308.0892 (2013) https://arxiv.org/pdf/1308.0892.pdf Архивная копия от 3 февраля 2020 на Wayback Machine
  11. ↑ 1 2 Alcuin of York's „Propositiones ad Acuendos Juvenes". Дата обращения: 6 января 2020. Архивировано 31 января 2020 года.

Внешние ссылки

[править | править код]
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Propositiones_ad_Acuendos_Juvenes