NTRUEncrypt (NTRUEncrypt)
NTRUEncrypt (аббревиатура Nth-degree TRUncated polynomial ring или Number Theorists aRe Us) — это криптографическая система с открытым ключом, ранее называвшаяся NTRU.
Криптосистема NTRUEncrypt, основанная на решёточной криптосистеме, создана в качестве альтернативы RSA и криптосистемам на эллиптических кривых (ECC). Стойкость алгоритма обеспечивается трудностью поиска кратчайшего вектора решётки[англ.], которая более стойкая к атакам, осуществляемым на квантовых компьютерах. В отличие от своих конкурентов RSA, ECC, Elgamal, алгоритм использует операции над кольцом усечённых многочленов степени, не превосходящей :
Такой многочлен можно также представить вектором
Как и любой молодой алгоритм, NTRUEncrypt плохо изучен, хотя и был официально утверждён для использования в сфере финансов комитетом Accredited Standards Committee X9.[1]
Существует реализации NTRUEncrypt с открытым исходным кодом.[2]
История
[править | править код]NTRUEncrypt, изначально называвшийся NTRU, был изобретён в 1996 году и представлен миру на конференциях CRYPTO[англ.], Конференция RSA, Eurocrypt[англ.]. Причиной, послужившей началом разработки алгоритма в 1994 году, стала статья[3], в которой говорилось о лёгкости взлома существующих алгоритмов на квантовых компьютерах, которые, как показало время, не за горами[4]. В этом же году, математики Jeffrey Hoffstein, Jill Pipher и Joseph H. Silverman, разработавшие систему вместе с основателем компании NTRU Cryptosystems, Inc. (позже переименованной в SecurityInnovation), Даниелем Лиеманом (Daniel Lieman) запатентовали своё изобретение.[5]
Кольца усечённых многочленов
[править | править код]NTRU оперирует над многочленами степени не превосходящей
где коэффициенты — целые числа. Относительно операций сложения и умножения по модулю многочлена такие многочлены образуют кольцо R, называемое кольцом усечённых многочленов, которое изоморфно факторкольцу
NTRU использует кольцо усечённых многочленов R совместно с делением по модулю на взаимно простые числа p и q для уменьшения коэффициентов многочленов.
В работе алгоритма также используются обратные многочлены в кольце усечённых многочленов. Следует отметить, что не всякий многочлен имеет обратный, но если обратный полином существует, то его легко вычислить.[6][7]
В качестве примера будут выбраны следующие параметры:
Обозначения параметров | N | q | p |
---|---|---|---|
Значения параметров | 11 | 32 | 3 |
Генерация открытого ключа
[править | править код]Для передачи сообщения от Алисы к Бобу необходимы открытый и закрытый ключи. Открытый знают как Боб, так и Алиса, закрытый ключ знает только Боб, который он использует для генерации открытого ключа. Для этого Боб выбирает два «маленьких» полинома f g из R. «Малость» полиномов подразумевается в том смысле, что он маленький относительно произвольного полинома по модулю q: в произвольном полиноме коэффициенты должны быть примерно равномерно распределены по модулю q, а в малом полиноме они много меньше q. Малость полиномов определяется с помощью чисел df и dg:
- Полином f имеет df коэффициентов равных «1» и df-1 коэффициентов равных «-1», а остальные — «0». В этом случае говорят, что
- Полином g имеет dg коэффициентов равных «1» и столько же равных «-1», остальные — «0». В этом случае говорят, что
Причина, по которой полиномы выбираются именно таким образом, заключается в том, что f , возможно, будет иметь обратный, а g — однозначно нет (g (1) = 0, а нулевой элемент не имеет обратного).
Боб должен хранить эти полиномы в секрете. Далее Боб вычисляет обратные полиномы и , то есть такие, что:
- и .
Если f не имеет обратного полинома, то Боб выбирает другой полином f.
Секретный ключ — это пара , а открытый ключ h вычисляется по формуле:
- Пример
Для примера возьмем df=4, а dg=3. Тогда в качестве полиномов можно выбрать
Далее для полинома f ищутся обратные полиномы по модулю p=3 и q=32:
Заключительным этапом является вычисление самого открытого ключа h:
Шифрование
[править | править код]Теперь, когда у Алисы есть открытый ключ, она может отправить зашифрованное сообщение Бобу. Для этого нужно сообщение представить в виде полинома m с коэффициентами по модулю p, выбранными из диапазона (-p/2, p/2]. То есть m является «малым» полиномом по модулю q. Далее Алисе необходимо выбрать другой «малый» полином r, который называется «ослепляющим», определяемый с помощью числа dr:
- Полином r имеет dr коэффициентов равных «1» и столько же равных «-1», остальные — «0». В этом случае говорят, что
Используя эти полиномы, зашифрованное сообщение получается по формуле:
При этом любой, кто знает (или может вычислить) ослепляющий полином r, сможет прочесть сообщение m.
- Пример
Предположим, что Алиса хочет послать сообщение, представленное в виде полинома
и выбрала «ослепляющий» полином, для которого dr=3:
Тогда шифротекст e, готовый для передачи Бобу будет:
Расшифрование
[править | править код]Теперь, получив зашифрованное сообщение e, Боб может его расшифровать, используя свой секретный ключ. Вначале он получает новый промежуточный полином:
Если расписать шифротекст, то получим цепочку:
и окончательно:
После того, как Боб вычислил полином a по модулю q, он должен выбрать его коэффициенты из диапазона (-q/2, q/2] и далее вычислить полином b, получаемый из полинома a приведением по модулю p:
так как .
Теперь, используя вторую половину секретного ключа и полученный полином b, Боб может расшифровать сообщение:
Нетрудно видеть, что
Таким образом полученный полином c действительно является исходным сообщением m.
Пример: Боб получил от Алисы шифрованное сообщение e
Используя секретный ключ f Боб получает полином a
с коэффициентами, принадлежащими промежутку (-q/2, q/2]. Далее преобразует полином a в полином b, уменьшая коэффициенты по модулю p.
Заключительный шаг — перемножение полинома b со второй половиной закрытого ключа
Который является исходным сообщением, которое передавала Алиса.
Стойкость к атакам
[править | править код]Полный перебор
[править | править код]Первая из возможных атак — атака перебором. Тут возможно несколько вариантов перебора: либо перебирать все , и проверять на малость коэффициенты полученных результатов , которые, по задумке, должны были быть малыми, либо перебирать все , также проверяя на малость коэффициенты результата . На практике пространство меньше пространства , следовательно стойкость определяется пространством . А стойкость отдельного сообщения определяется пространством .
Встреча посередине
[править | править код]Существует более оптимальный вариант перебора встреча посередине, предложенный Эндрю Одлыжко[англ.]. Этот метод уменьшает количество вариантов до квадратного корня:
Стойкости закрытого ключа = = ,
И стойкости отдельного сообщения = = .
Атака «встреча посередине» позволяет разменять время, необходимое для вычислений на память, необходимую для хранения временных результатов. Таким образом, если мы хотим обеспечить стойкость системы , нужно выбрать ключ размера .
Атака на основе множественной передачи сообщения
[править | править код]Довольно серьёзная атака на отдельное сообщение, которую можно избежать, следуя простому правилу — не пересылать многократно одно и то же сообщение. Суть атаки заключается в нахождении части коэффициентов ослепляющего многочлена r. А остальные коэффициенты можно просто перебрать, тем самым прочитав сообщение. Так как зашифрованное одно и то же сообщение с разными ослепляющими многочленами это , где i=1, … n. Можно вычислить выражение , которое в точности равно . Для достаточно большого количества переданных сообщений (скажем, для n = 4, 5, 6), можно восстановить, исходя из малости коэффициентов, большую часть ослепляющего многочлена .
Атака на основе решётки
[править | править код]Рассмотрим решётку, порождённую строками матрицы размера 2N×2N с детерминантом , состоящей из четырёх блоков размера N×N:
Так как открытый ключ , то , следовательно в этой решётке содержится вектор размера 2N, в котором идут сначала коэффициенты вектора f, помноженные на коэффициент , затем коэффициенты вектора g. Задача поиска такого вектора, при больших N и правильно подобранных параметрах, считается трудно разрешимой.
Атака на основе подобранного шифротекста
[править | править код]Атака на основе подобранного шифротекста является наиболее опасной атакой. Её предложили Éliane Jaulmes и Antoine Joux[8] в 2000 году на конференции CRYPTO. Суть этой атаки заключается в подборе такого многочлена a(x), чтобы . При этом Ева не взаимодействует ни с Бобом, ни с Алисой.
Если взять шифротекст , где , то получим многочлен . Так как коэффициенты многочленов f и g принимают значения «0», «1» и «-1», то коэффициенты многочлена a будут принадлежать множеству {-2py , -py , 0, py, 2py}. Если py выбрать таким, что , то при сведении по модулю полинома a(x) приведутся только коэффициенты равные -2py или 2py. Пусть теперь i-ый коэффициент равен 2py, тогда многочлен a(x) после приведения по модулю запишется как:
- ,
а многочлен b(x):
- ,
окончательно вычислим:
- .
Теперь, если рассмотреть все возможные i, то вместо отдельных , можно составить полином K и расшифрованное сообщение примет вид:
- ,
или, секретный ключ:
- ,
Вероятность таким образом отыскать составляющие ключа составляет порядка 0,1 … 0,3 для ключа размера 100. Для ключей большого размера (~500) эта вероятность очень мала. Применив данный метод достаточное количество раз, можно полностью восстановить ключ.
Для защиты от атаки такого типа используется расширенный метод шифрования NTRU-FORST. Для шифрования используется ослепляющий многочлен , где H — криптографически-стойкая хеш-функция, а R — случайный набор бит. Получив сообщение, Боб расшифровывает его. Далее Боб шифрует только что расшифрованное сообщение, таким же образом, что и Алиса. После сверяет его на соответствие с полученным. Если сообщения идентичные, то Боб принимает сообщение, иначе отбраковывает.
Параметры стойкости и быстродействие
[править | править код]Несмотря на то, что существуют быстрые алгоритмы поиска обратного полинома, разработчики предложили для коммерческого применения в качестве секретного ключа f брать:
- ,
где F — малый полином. Таким образом выбранный ключ обладает следующими преимуществами:
- f всегда имеет обратный по модулю p, а именно .
- Так как нам больше не нужно при расшифровке умножать на обратный полином , и он выпадает из разряда секретного ключа.
Одно из исследований Архивная копия от 6 октября 2016 на Wayback Machine показало, что NTRU на 4 порядка быстрее RSA и на 3 порядка — ECC.
Как уже упоминалось ранее разработчики, для обеспечения высокой стойкости алгоритма, предлагают использовать только рекомендованные параметры, обозначенные в таблице:
Рекомендованные параметры
[править | править код]Обозначение | N | q | p | df | dg | dr | Гарантированная стойкость |
---|---|---|---|---|---|---|---|
NTRU167:3 | 167 | 128 | 3 | 61 | 20 | 18 | Умеренный уровень стойкости |
NTRU251:3 | 251 | 128 | 3 | 50 | 24 | 16 | Стандартный уровень стойкости |
NTRU503:3 | 503 | 256 | 3 | 216 | 72 | 55 | Высочайший уровень стойкости |
NTRU167:2 | 167 | 127 | 2 | 45 | 35 | 18 | Умеренный уровень стойкости |
NTRU251:2 | 251 | 127 | 2 | 35 | 35 | 22 | Стандартный уровень стойкости |
NTRU503:2 | 503 | 253 | 2 | 155 | 100 | 65 | Высочайший уровень стойкости |
Примечания
[править | править код]- ↑ Security Innovation’s NTRUEncrypt Adopted as X9 Standard for Data Protection . Дата обращения: 15 марта 2022. Архивировано 13 августа 2016 года.
- ↑ NTRUEncrypt и NTRUSign в Java . Дата обращения: 1 ноября 2011. Архивировано 19 ноября 2011 года.
- ↑ Algorithms for quantum computation: discrete logarithms and factoring . Дата обращения: 30 октября 2011. Архивировано из оригинала 18 июня 2010 года.
- ↑ NIST demonstrates 'universal' programmable quantum processor . Дата обращения: 30 октября 2011. Архивировано 30 ноября 2011 года.
- ↑ NTRU Public Key Algorithms IP Assurance Statement for 802.15.3 . Дата обращения: 30 октября 2011. Архивировано 9 апреля 2016 года.
- ↑ J. H. Silverman, Almost Inverses and Fast NTRU Key Creation Архивная копия от 24 марта 2012 на Wayback Machine, NTRU Cryptosystems Technical Report # 014.
- ↑ J. H. Silverman, Invertibility in Truncated Polynomial Rings Архивная копия от 14 мая 2012 на Wayback Machine, NTRU Cryptosystems Technical Report # 009.
- ↑ Jaulmes É., Joux A. A chosen-ciphertext attack against NTRU //Annual International Cryptology Conference. – Springer, Berlin, Heidelberg, 2000. – С. 20-35.
Ссылки
[править | править код]- NTRU Cryptosystems’s technical website
- NTRU Cryptosystems, Inc.
- Jeffrey Hoffstein, Jill Pipher, Joseph H. Silverman. NTRU: A Ring Based Public Key Cryptosystem. In Algorithmic Number Theory (ANTS III), Portland, OR, June 1998, J.P. Buhler (ed.), Lecture Notes in Computer Science 1423, Springer-Verlag, Berlin, 1998, 267—288.
- Howgrave-Graham, N., Silverman, J.H. & Whyte, W., Meet-In-The-Middle Attack on a NTRU Private Key.
- J. Hoffstein, J. Silverman. Optimizations for NTRU. Public-Key Cryptography and Computational Number Theory (Warsaw, September 11-15, 2000), DeGruyter, to appear.
- A. C. Atici, L. Batina, J. Fan & I. Verbauwhede. Low-cost implementations of NTRU for pervasive security Архивная копия от 28 сентября 2011 на Wayback Machine.