L-распределение (L-jgvhjy;ylyuny)

Перейти к навигации Перейти к поиску
L-распределение
Плотность L-распределенияПлотность L-распределенияПлотность вероятности
Функция L-распределенияФункция распределения
Обозначение
Параметры — параметры формы
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия

L-распределе́ние Сосновского — распределение случайной вещественной величины, принимающей значения из отрезка [0,1], характеризующееся указанной ниже функцией распределения. Данное распределение было предложено более 25 лет назад[1] для анализа накопления усталостных повреждений при нерегулярном нагружении. За это время выяснилось, что (см., например[2][3][4]), оно не является частным случаем никакого другого известного распределения и имеет важное значение в механике повреждений[5].

Определение

[править | править код]

L-распределение определяется двухпараметрической интегральной функцией распределения:

где η, γ – параметры формы (η > 0, γ > 0). Функция L-распределения вполне адекватно описывает процесс накопления повреждений в объекте[6] и обладает всеми свойствами функций распределения непрерывных случайных величин[3].

Моменты случайной величины

[править | править код]

Выражения моментов случайной величины ξ, подчиняющейся L-распределе­нию, могут быть представлены в явном виде лишь при определенных соотношениях значений параметров[7], не имеющих практической значимости. Однако они всегда могут быть выражены через Бета-функцию. Представим выражения для начальных моментов четырех младших порядков:

Центральные моменты L-распределе­нной случайной величины удобно определять через начальные моменты с помощью известных в теории вероятностей выражений:

Характеристическая функция

[править | править код]

Характеристическая функция L-распре­деления g(t), как и моменты, не выражается аналитически явно. Графики данной функции (для следующих значений параметров a) γ = 3; b) η = 1) представлены на рисунке.

Характеристическая функция L-распределения: a) γ = 3; b) η = 1

Функция интенсивности отказов

[править | править код]

Рассматривая L-распределенную случайную величину, как наработку объекта до отказа, функция интенсивности отказов объекта λ(x) имеет вид (, см. рисунок ниже)

.

Функция интенсивности отказов для наработки, являющейся случайной величиной, подчиняющейся L-распределению
Функция интенсивности отказов для наработки, являющейся случайной величиной, подчиняющейся L-распределению


Функция интенсивности отказов монотонно возрастает при γ>1, поэтому L-распре­деление может использоваться в качестве адекватной модели постепенных (износовых) отказов объектов. При γ < 1 функция интенсивности отказов имеет U-образную форму, что позволяет использовать L-распре­деление для описания наработки объектов до отказа на всех этапах жизненного цикла объекта: в периоде приработки, нормальной эксплуатации и старения.

Оценивание параметров

[править | править код]

Статистические оценки   параметров L-распределения  на практике предлагается определять как решение (численное) системы уравнений:

где  – несмещенные и состоятельные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины ξ. Вопрос о существовании (возможно, единственности) решения системы уравнений, а также определение свойств полученных оценок (несмещенность, состоятельность, эффективность) представляет пока нерешенную, задачу.

Генерирование случайной величины

[править | править код]

Генерирование случайной величины ξ, подчиняющейся L-распределению, целесообразно методом обратной функции с использованием реализаций R базовой случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [0,1]:

.

Примечания

[править | править код]
  1. Сосновский, Л. А. Статистическая механика усталостного разрушения / Л. А. Сосновский. — Мн.: Наука и техника, 1987. — 288 с.
  2. Большев, Л.Н. Таблицы математической статистики / Л. Н. Большев, Н. В. Смирнов. — М.: Наука, 1983. — 416 с.
  3. 1 2 Вероятность и математическая статистика / Под ред. Ю. В. Прохорова. — М.: Большая Российская энциклопедия, 2003. — 912 с.
  4. Сосновский, Л. А. Об унификации функций некоторых типовых распределений случайных величин / Л. А. Сосновский, Д. Н. Шевченко. — Гродно: Вестник Гродненского государственного ун-та им. Я.Купалы. Серия 2. Математика. Физика. Информатика, вычислительная техника и управление. Биология. № 1, 2009. — С. 30–38.
  5. Сосновский, Л. А. Механика износоусталостного повреждения: [монография] / Л. А. Сосновский. — Гомель: БелГУТ, 2007. — 434 с.
  6. Сосновский, Л. А. L-распределение повреждений силовых систем / Л. А. Сосновский, Д. Н. Шевченко. — Гомель: Вестник Белорус. государственного ун-та транспорта: Наука и транспорт. № 1 (20), 2010. — С. 72-76.
  7. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах. Т.2. / Г. М. Фихтенгольц. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 810 с.