3j-символ (3j-vnbfkl)

Перейти к навигации Перейти к поиску

3j-символ Вигнера, называемый также 3jm-символом, — вещественная функция шести переменных (как правило, целых или полуцелых чисел). Находят применение в квантовой механике для сложения угловых моментов и связаны с коэффициентами Клебша — Гордана следующими формулами:

3j-символы являются коэффициентами, с которыми состояние раскладывается в виде трилинейной формы трёх угловых моментов:

Обратная связь

[править | править код]

Обратная связь между коэффициентами Клебша — Гордана и 3j-символами может быть найдена следующим образом: замечая, что j1j2 − m3 является целым числом, и делая подстановку , получим:

Симметрия 3j-символов выражается более удобно, чем у коэффициентов Клебша — Гордана. 3j-символ инвариантен при чётной перестановке его столбцов:

Нечётная перестановка столбцов приводит к домножению на фазовый фактор:

Замена знака квантовых чисел также даёт дополнительную фазу:

Правила отбора

[править | править код]

3j-символ Вигнера не равен нулю только при одновременном выполнении всех следующих условий:

 — целое,

Скалярная инвариантность

[править | править код]

Свёртка произведения трёх вращательных состояний с 3j-символами

инвариантна при вращениях. Это очевидный факт, поскольку указанная сумма равна состоянию с нулевым моментом , которое сферически симметрично.

Ортогональность

[править | править код]

3j-символы удовлетворяют следующим свойствам ортогональности:

Связь со сферическими гармониками

[править | править код]

Через 3j-символы выражаются интегралы от произведения трёх сферических гармоник:

где , и являются целыми числами.

Связь с интегралами от сферических гармоник со спиновыми весами

[править | править код]

Выражение в явном виде

[править | править код]

Суммирование выполняется по тем целым значениям k, для которых аргумент каждого факториала в знаменателе неотрицателен, т.е. пределы суммирования K и N принимаются равными: нижний верхний Факториалы отрицательных чисел условно принимаются равными нулю, так что значения 3j-символа при, например, или автоматически обнуляются[1].

Прочие свойства

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. — М.: Физматгиз, 1963.
  • Biedenharn L. C., Louck J. D. Angular Momentum in Quantum Physics. In: Vol. 8 of Encyclopedia of Mathematics, Addison-Wesley, Reading, 1981.
  • Brink D. M., Satchler G. R. Angular Momentum. 3rd edition, Clarendon, Oxford, 1993.
  • Edmonds A. R. Angular Momentum in Quantum Mechanics. 2nd edition, Princeton University Press, Princeton, 1960.
  • Варшалович Д. А., Москалёв А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — Л.: Наука, 1975.
  • Wigner E. P. On the Matrices Which Reduce the Kronecker Products of Representations of Simply Reducible Groups. Unpublished (1940). Reprinted in: Biedenharn L. C., van Dam H. Quantum Theory of Angular Momentum. New York: Academic Press, 1965.

Примечания

[править | править код]
  1. Bohm A., Loewe M. Quantum Mechanics: Foundations and Applications (англ.). — 3rd ed. — New York: Springer-Verlag, 1993. — P. 172. — ISBN 0-387-95330-2.