Эта-функция Дирихле в аналитической теории чисел — функция, определённая следующим рядом Дирихле , сходящимся для любого комплексного числа s
η
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
n
s
=
1
1
s
−
1
2
s
+
1
3
s
−
1
4
s
+
…
{\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\dots }
Этот ряд Дирихле — знакочередующийся, он соответствует ряду Дирихле дзета-функции Римана ζ(s ) , поэтому эта-функция Дирихле также известна как альтернативная дзета-функция и иногда обозначается как ζ* (s ) . Выполняются следующие равенства:
η
(
s
)
=
(
1
−
2
1
−
s
)
ζ
(
s
)
,
{\displaystyle \eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s),}
η
(
s
)
=
1
Γ
(
s
)
∫
0
∞
x
s
−
1
e
x
+
1
d
x
.
{\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}{dx}.}
(
Γ
(
s
)
{\displaystyle \Gamma (s)}
гамма-функция , это равенство представляет эта-функцию как преобразование Меллина ).
И эта-функция Дирихле, и дзета-функция Римана являются частными случаями полилогарифма :
η
(
s
)
=
−
Li
s
(
−
1
)
(
Re
s
>
0
)
,
{\displaystyle \eta (s)=-\operatorname {Li} _{s}(-1)\qquad (\operatorname {Re} s>0),}
ζ
(
s
)
=
Li
s
(
1
)
(
Re
s
>
1
)
.
{\displaystyle \zeta (s)=\operatorname {Li} _{s}(1)\qquad (\operatorname {Re} s>1).}
Харди вывел для эта-функции функциональное уравнение
η
(
−
s
)
=
2
1
−
2
−
s
−
1
1
−
2
−
s
π
−
s
−
1
s
sin
(
π
s
2
)
Γ
(
s
)
η
(
s
+
1
)
,
{\displaystyle \eta (-s)=2{\frac {1-2^{-s-1}}{1-2^{-s}}}\pi ^{-s-1}s\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1),}
которое позволяет продолжить её на всю комплексную плоскость, не ограничиваясь случаем Re s > 0 .
Нули эта-функции включают в себя все нули дзета-функции — отрицательные целые числа, точки s
s
n
=
1
+
2
n
π
i
/
ln
2
,
{\displaystyle s_{n}=1+2n\pi i/\ln 2,}
n
∈
Z
∖
{
0
}
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}
η
(
1
)
=
ln
2
≈
0,693
14718.
{\displaystyle \!\ \eta (1)=\ln 2\approx 0{,}69314718.}
η
(
2
)
=
π
2
12
≈
0,822
46703.
{\displaystyle \eta (2)={\pi ^{2} \over 12}\approx 0{,}82246703.}
η
(
4
)
=
7
π
4
720
≈
0,947
03283.
{\displaystyle \eta (4)={{7\pi ^{4}} \over 720}\approx 0{,}94703283.}
η
(
6
)
=
31
π
6
30240
≈
0,985
55109.
{\displaystyle \eta (6)={{31\pi ^{6}} \over 30240}\approx 0{,}98555109.}
η
(
8
)
=
127
π
8
1209600
≈
0,996
23300.
{\displaystyle \eta (8)={{127\pi ^{8}} \over 1209600}\approx 0{,}99623300.}
η
(
10
)
=
73
π
10
6842880
≈
0,999
03951.
{\displaystyle \eta (10)={{73\pi ^{10}} \over 6842880}\approx 0{,}99903951.}
η
(
12
)
=
1414477
π
12
1307674368000
≈
0,999
75769.
{\displaystyle \eta (12)={{1414477\pi ^{12}} \over {1307674368000}}\approx 0{,}99975769.}
Общая форма для чётных неотрицательных целых чисел:
η
(
2
n
)
=
(
−
1
)
n
+
1
B
2
n
π
2
n
(
2
2
n
−
1
−
1
)
(
2
n
)
!
,
{\displaystyle \eta (2n)=(-1)^{n+1}{{B_{2n}\pi ^{2n}(2^{2n-1}-1)} \over {(2n)!}},}
где
B
k
{\displaystyle B_{k}}
числа Бернулли . Lindelöf, Ernst. Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions (фр.) . — Gauthier-Villars, 1905. — P. 103.Widder, David Vernon. The Laplace Transform (неопр.) . — Princeton University Press , 1946. — С. 230 .Landau, Edmund, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Erster Band, Berlin, 1909, p. 160. (Second edition by Chelsea, New York, 1953, p. 160, 933
Sondow, Jonathan (2002). "Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula". arXiv :math.CO/0211148 Sondow, Jonathan. "Zeros of the Alternating Zeta Function on the Line R(s)=1". arXiv :math/0209393 
