Эта-функция Дирихле (|mg-srutenx :njn]ly)
Эта-функция Дирихле в аналитической теории чисел — функция, определённая следующим рядом Дирихле, сходящимся для любого комплексного числа s, у которого действительная часть больше 0:
Этот ряд Дирихле — знакочередующийся, он соответствует ряду Дирихле дзета-функции Римана ζ(s), поэтому эта-функция Дирихле также известна как альтернативная дзета-функция и иногда обозначается как ζ*(s). Выполняются следующие равенства:
( — гамма-функция, это равенство представляет эта-функцию как преобразование Меллина).
И эта-функция Дирихле, и дзета-функция Римана являются частными случаями полилогарифма:
Харди вывел для эта-функции функциональное уравнение
которое позволяет продолжить её на всю комплексную плоскость, не ограничиваясь случаем Re s > 0.
Нули
[править | править код]Нули эта-функции включают в себя все нули дзета-функции — отрицательные целые числа, точки s такие, что где (целое число, не равное 0).
Значения в некоторых точках
[править | править код]Общая форма для чётных неотрицательных целых чисел:
- где — числа Бернулли.
Литература
[править | править код]- Lindelöf, Ernst. Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions (фр.). — Gauthier-Villars, 1905. — С. 103.
- Widder, David Vernon. The Laplace Transform (неопр.). — Princeton University Press, 1946. — С. 230.
- Landau, Edmund, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Erster Band, Berlin, 1909, p. 160. (Second edition by Chelsea, New York, 1953, p. 160, 933
- Sondow, Jonathan (2002). "Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula". arXiv:math.CO/0211148.
- Sondow, Jonathan. "Zeros of the Alternating Zeta Function on the Line R(s)=1". arXiv:math/0209393.
![]() | В другом языковом разделе есть более полная статья Dirichlet eta function (англ.). |