Число Ферма (Cnvlk Syjbg)
Числа Ферма́ — числа вида , где (последовательность A000215 в OEIS).
При числа Ферма простые и равны .
Пока других простых чисел Ферма не обнаружено, и неизвестно, существуют ли простые числа при n > 4 или же все прочие числа Ферма — составные.
История
[править | править код]Изучение чисел такого вида начал Ферма, который выдвинул гипотезу, что все они простые. Однако эта гипотеза была опровергнута Эйлером в 1732 году, когда тот нашёл разложение числа на простые сомножители:
- .
Во времена Ферма считалось верным утверждение, что если , то — простое, это утверждение оказалось неверным (был найден контрпример: ), по мнению Тадеуша Банахевича, именно это могло побудить Ферма выдвинуть свою гипотезу, так как утверждение верно при всех [1].
Простые числа Ферма
[править | править код]На 2024 год известны 5 простых чисел Ферма — при [2]
Существование других простых чисел Ферма является открытой проблемой. Известно, что являются составными при , при том, что до 5 все числа Ферма простые.
Свойства
[править | править код]- Правильный -угольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда (), где — различные простые числа Ферма (теорема Гаусса — Ванцеля).
- Среди чисел вида простыми могут быть только числа Ферма (то есть число n обязано быть степенью 2). Действительно, если у n есть нечётный делитель и , то
- и поэтому не является простым.
- Простоту некоторых чисел Ферма можно эффективно установить с помощью теста Пепина. Однако числа Ферма сильно растут, и этот тест был удачно применён только для 8 чисел, составность которых ранее не была доказана. По мнению Майера, Пападопулоса и Крэндалла, чтобы выполнить тесты Пепина на последующих числах Ферма, понадобится несколько десятилетий[3].
- Десятичная запись чисел Ферма, больших 5, оканчивается на 17, 37, 57 или 97.
- Каждый делитель числа при имеет вид (Эйлер, Люка, 1878).
- Числа Ферма растут очень быстро: 9-е число больше гугола, а 334-е число больше гуголплекса.
Разложение на простые
[править | править код]Всего по состоянию на 2024 год найдено 370 простых делителя чисел Ферма. Для 325 чисел Ферма доказано, что они составные, при этом для 2 из них (F20 и F24) до сих пор неизвестно ни одного делителя[4]. Несколько новых делителей чисел Ферма находят каждый год.
Ниже приведено разложение чисел Ферма на простые сомножители, при
Обобщённые числа Ферма
[править | править код]Обобщённое число Ферма — число вида . Числа Ферма являются их частным случаем для и
Примечания
[править | править код]- ↑ В. Серпинский. 250 задач по теории чисел. — Просвещение, 1968. Архивировано 30 июня 2011 года.
- ↑ последовательность A019434 в OEIS
- ↑ Richard E. Crandall, Ernst W. Mayer & Jason S. Papadopoulos (2003), The twenty-fourth Fermat number is composite Архивная копия от 8 октября 2014 на Wayback Machine (англ.)
- ↑ Fermat factoring status . Дата обращения: 16 апреля 2019. Архивировано 10 февраля 2016 года.
Литература
[править | править код]- Golomb, S. W. (January 1, 1963), "On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities", Canadian Journal of Mathematics, 15: 475—478, doi:10.4153/CJM-1963-051-0
- Grytczuk, A.; Luca, F.; Wójtowicz, M. (2001), "Another note on the greatest prime factors of Fermat numbers", Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 25 (1): 111—115, doi:10.1007/s10012-001-0111-4
{{citation}}
: Неизвестный параметр|lastauthoramp=
игнорируется (|name-list-style=
предлагается) (справка) - Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory, Problem Books in Mathematics, vol. 1 (3rd ed.), New York: Springer Verlag, pp. A3, A12, B21, ISBN 978-0-387-20860-2
- Křížek, Michal; Luca, Florian; Somer, Lawrence (2001), 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, CMS books in mathematics, vol. 10, New York: Springer, ISBN 978-0-387-95332-8
{{citation}}
: Неизвестный параметр|lastauthoramp=
игнорируется (|name-list-style=
предлагается) (справка) — This book contains an extensive list of references. - Křížek, Michal; Luca, Florian; Somer, Lawrence (2002), "On the convergence of series of reciprocals of primes related to the Fermat numbers" (PDF), Journal of Number Theory, 97 (1): 95—112, doi:10.1006/jnth.2002.2782
{{citation}}
: Неизвестный параметр|lastauthoramp=
игнорируется (|name-list-style=
предлагается) (справка) - Luca, Florian (2000), "The anti-social Fermat number", American Mathematical Monthly, 107 (2): 171—173, doi:10.2307/2589441, JSTOR 2589441
- Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records (3rd ed.), New York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9
- Robinson, Raphael M. (1954), "Mersenne and Fermat Numbers", Proceedings of the American Mathematical Society, 5 (5): 842—846, doi:10.2307/2031878, JSTOR 2031878
- Yabuta, M. (2001), "A simple proof of Carmichael's theorem on primitive divisors" (PDF), Fibonacci Quarterly, 39: 439—443
Ссылки
[править | править код]- Леонид Дурман. Гонки по вертикали. Числа Ферма от Эйлера до наших дней: 1, 2, 3 // Компьютерра, 2001, № 393—395.
- TOP-20 Наибольших делителей чисел Ферма (англ.)
- Леонид Дурман, Luigi Morelli. Координирующий проект FERMATSEARCH (англ.) (итал.) (рус.)
- Wilfrid Keller. Prime Factors of Fermat Numbers (англ.)