Числа Лаха (Cnvlg Lg]g)

[править | править код]
Перейти к навигации Перейти к поиску
Иллюстрация беззнаковых чисел Лаха для n и k между 1 и 4

Числа Лаха, открытые математиком из Словении Иво Лахом в 1955[1] — это коэффициенты, выражающие возрастающие факториалы через убывающие факториалы.

Беззнаковые числа Лаха имеют интересное значение в комбинаторике — они отражают число способов, каким множество из n элементов может быть разбито на k непустых упорядоченных подмножеств. Числа Лаха связаны с числами Стирлинга.

Беззнаковые числа Лаха (последовательность A105278 в OEIS):

Числа Лаха со знаками (последовательность A008297 в OEIS):

L(n, 1) всегда равно n!. В вышеупомянутой интерпретации разбиения множества {1, 2, 3} на 1 множество может быть осуществлено 6 способами:

{(1, 2, 3)}, {(1, 3, 2)}, {(2, 1, 3)}, {(2, 3, 1)}, {(3, 1, 2)}, {(3, 2, 1)}

L(3, 2) соответствует 6 разбиениям на два упорядоченных множества:

{(1), (2, 3)}, {(1), (3, 2)}, {(2), (1, 3)}, {(2), (3, 1)}, {(3), (1, 2)} or {(3), (2, 1)}

L(n, n) всегда равно 1, поскольку, например, разбиение множества {1, 2, 3} на 3 непустых подмножества приводит к подмножествам длины 1.

{(1), (2), (3)}

При использовании обозначения Карамата — Кнута для чисел Стирлинга было предложено использовать следующее альтернативное обозначение чисел Лаха:

Возрастающие и убывающие факториалы

[править | править код]

Пусть обозначает возрастающий факториал , а — убывающий факториал .

Тогда and

Например,

Сравните с третьей строкой таблицы значений.

Тождества и связи

[править | править код]
где числа Стирлинга первого рода, а числа Стирлинга второго рода. Если принять, что и при .

Таблица значений

[править | править код]

Таблица значений чисел Лаха:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 1
2 2 1
3 6 6 1
4 24 36 12 1
5 120 240 120 20 1
6 720 1800 1200 300 30 1
7 5040 15120 12600 4200 630 42 1
8 40320 141120 141120 58800 11760 1176 56 1
9 362880 1451520 1693440 846720 211680 28224 2016 72 1
10 3628800 16329600 21772800 12700800 3810240 635040 60480 3240 90 1
11 39916800 199584000 299376000 199584000 69854400 13970880 1663200 11880 4950 110 1
12 479001600 2634508800 4390848000 3293136000 1317254400 307359360 43908480 3920400 217800 7260 132 1

Современное практическое применение

[править | править код]

В последние годы числа Лаха используются в стеганография для сокрытия данных в изображениях. По сравнению с такими альтернативами, как DCT, DFT и DWT, они имеют меньшую сложность——вычисления их целочисленных коэффициентов.[2][3] Преобразования Лаха и Лагерра естественно возникают при пертурбативном описании хроматической дисперсии.[4] [5] В оптика Лаха-Лагерра такой подход значительно ускоряет решение задач оптимизации.

Примечания

[править | править код]
  1. Riordan, 1958.
  2. Ghosal, Sudipta Kr; Mukhopadhyay, Souradeep; Hossain, Sabbir; Sarkar, Ram (2020). "Application of Lah Transform for Security and Privacy of Data through Information Hiding in Telecommunication". Transactions on Emerging Telecommunications Technologies. 32 (2). doi:10.1002/ett.3984. S2CID 225866797.
  3. Image Steganography-using-Lah-Transform. MathWorks. Дата обращения: 4 марта 2023. Архивировано 4 марта 2023 года.
  4. Popmintchev, Dimitar; Wang, Siyang; Xiaoshi, Zhang; Stoev, Ventzislav; Popmintchev, Tenio (2022-10-24). "Analytical Lah-Laguerre optical formalism for perturbative chromatic dispersion". Optics Express. 30 (22): 40779—40808. Bibcode:2022OExpr..3040779P. doi:10.1364/OE.457139. PMID 36299007.
  5. Popmintchev, Dimitar; Wang, Siyang; Xiaoshi, Zhang; Stoev, Ventzislav; Popmintchev, Tenio (2020-08-30). "Theory of the Chromatic Dispersion, Revisited". arXiv:2011.00066 [physics.optics].

Литература

[править | править код]
Сообщить об ошибке