Числа Лаха (Cnvlg Lg]g)
Числа Лаха, открытые математиком из Словении Иво Лахом в 1955[1] — это коэффициенты, выражающие возрастающие факториалы через убывающие факториалы.
Беззнаковые числа Лаха имеют интересное значение в комбинаторике — они отражают число способов, каким множество из n элементов может быть разбито на k непустых упорядоченных подмножеств. Числа Лаха связаны с числами Стирлинга.
Беззнаковые числа Лаха (последовательность A105278 в OEIS):
Числа Лаха со знаками (последовательность A008297 в OEIS):
L(n, 1) всегда равно n!. В вышеупомянутой интерпретации разбиения множества {1, 2, 3} на 1 множество может быть осуществлено 6 способами:
- {(1, 2, 3)}, {(1, 3, 2)}, {(2, 1, 3)}, {(2, 3, 1)}, {(3, 1, 2)}, {(3, 2, 1)}
L(3, 2) соответствует 6 разбиениям на два упорядоченных множества:
- {(1), (2, 3)}, {(1), (3, 2)}, {(2), (1, 3)}, {(2), (3, 1)}, {(3), (1, 2)} or {(3), (2, 1)}
L(n, n) всегда равно 1, поскольку, например, разбиение множества {1, 2, 3} на 3 непустых подмножества приводит к подмножествам длины 1.
- {(1), (2), (3)}
При использовании обозначения Карамата — Кнута для чисел Стирлинга было предложено использовать следующее альтернативное обозначение чисел Лаха:
Возрастающие и убывающие факториалы
[править | править код]Пусть обозначает возрастающий факториал , а — убывающий факториал .
Тогда and
Например,
Сравните с третьей строкой таблицы значений.
Тождества и связи
[править | править код]- где — числа Стирлинга первого рода, а — числа Стирлинга второго рода. Если принять, что и при .
Таблица значений
[править | править код]Таблица значений чисел Лаха:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | |||||||||||
2 | 2 | 1 | ||||||||||
3 | 6 | 6 | 1 | |||||||||
4 | 24 | 36 | 12 | 1 | ||||||||
5 | 120 | 240 | 120 | 20 | 1 | |||||||
6 | 720 | 1800 | 1200 | 300 | 30 | 1 | ||||||
7 | 5040 | 15120 | 12600 | 4200 | 630 | 42 | 1 | |||||
8 | 40320 | 141120 | 141120 | 58800 | 11760 | 1176 | 56 | 1 | ||||
9 | 362880 | 1451520 | 1693440 | 846720 | 211680 | 28224 | 2016 | 72 | 1 | |||
10 | 3628800 | 16329600 | 21772800 | 12700800 | 3810240 | 635040 | 60480 | 3240 | 90 | 1 | ||
11 | 39916800 | 199584000 | 299376000 | 199584000 | 69854400 | 13970880 | 1663200 | 11880 | 4950 | 110 | 1 | |
12 | 479001600 | 2634508800 | 4390848000 | 3293136000 | 1317254400 | 307359360 | 43908480 | 3920400 | 217800 | 7260 | 132 | 1 |
Современное практическое применение
[править | править код]В последние годы числа Лаха используются в стеганография для сокрытия данных в изображениях. По сравнению с такими альтернативами, как DCT, DFT и DWT, они имеют меньшую сложность——вычисления их целочисленных коэффициентов.[2][3] Преобразования Лаха и Лагерра естественно возникают при пертурбативном описании хроматической дисперсии.[4] [5] В оптика Лаха-Лагерра такой подход значительно ускоряет решение задач оптимизации.
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Riordan, 1958.
- ↑ Ghosal, Sudipta Kr; Mukhopadhyay, Souradeep; Hossain, Sabbir; Sarkar, Ram (2020). "Application of Lah Transform for Security and Privacy of Data through Information Hiding in Telecommunication". Transactions on Emerging Telecommunications Technologies. 32 (2). doi:10.1002/ett.3984. S2CID 225866797.
- ↑ Image Steganography-using-Lah-Transform . MathWorks. Дата обращения: 4 марта 2023. Архивировано 4 марта 2023 года.
- ↑ Popmintchev, Dimitar; Wang, Siyang; Xiaoshi, Zhang; Stoev, Ventzislav; Popmintchev, Tenio (2022-10-24). "Analytical Lah-Laguerre optical formalism for perturbative chromatic dispersion". Optics Express. 30 (22): 40779—40808. Bibcode:2022OExpr..3040779P. doi:10.1364/OE.457139. PMID 36299007.
- ↑ Popmintchev, Dimitar; Wang, Siyang; Xiaoshi, Zhang; Stoev, Ventzislav; Popmintchev, Tenio (2020-08-30). "Theory of the Chromatic Dispersion, Revisited". arXiv:2011.00066 [physics.optics].
Литература
[править | править код]- John Riordan. Introduction to Combinatorial Analysis. — Princeton University Press, 1958. — ISBN 978-0-691-02365-6. Статья переиздана в 1980, и ещё один раз в 2002 (Dover Publications)
Для улучшения этой статьи желательно:
|