Четырёхкратная секущая (Cymdj~]tjgmugx vytrpgx)

Четырёхкратная секущая — прямая, проходящая через четыре точки данной пространственной кривой.

Свойства

Кривые общего положения не имеют секущих кратности 5 и больше.
- Для таких кривых четырёхкратные секущие образуют дискретное множество прямых.
В трёхмерном евклидовом пространстве каждый нетривиальный узел или зацепление имеет четырёхкратную секущую. Более того, любой узел имеет альтернированную четырёхкратную секущую, то есть секущую в которой четыре точки пересечения появляются в разных циклических порядках на узле и на прямой. Это утверждение было доказано Эрикой Паннвиц^[1] для ручных узлов, результат был обобщён на узлы общего положения^[2], а затем на все нетривиальные ручные узлы и зацепления.
- Из этого утверждения легко выводится теорема Фари — Милнора о повороте узла.
- Не известно любой ли дикий узел имеет бесконечное число четырёхкратных секущих.^[3]

Формула Кейли^[4] даёт число четырёхкратных секущих алгебраической кривой в трёхмерном комплексном проективном пространстве в зависимости от степени $d$ и рода $g$ :
${\frac {(d-2)(d-3)^{2}(d-4)}{12}}-{\frac {g(d^{2}-7d+13-g)}{2}}.$

Предполагается, что кривая не особая; для особых кривых требуются поправочные члены.

В трёхмерном евклидовом пространстве каждый набор из четырёх скрещивающихся прямых в общем положении имеет либо две четырёхкратные секущие либо ни одной.

↑ Pannwitz, E. (1933). Eine elementargeometrische Eigenschaft von Verschlingungen und Knoten. Math. Ann. 108(1): 629–672.
↑ Denne, Elizabeth Jane (2004), Alternating quadrisecants of knots, Ph.D. thesis (англ.), University of Illinois at Urbana-Champaign, arXiv:math/0510561, Bibcode:2005math.....10561D.
↑ Kuperberg, Greg (1994), "Quadrisecants of knots and links", Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 3: 41—50, arXiv:math/9712205, doi:10.1142/S021821659400006X, MR 1265452, S2CID 6103528
↑ Cayley, Arthur (1863), Philosophical Transactions of the Royal Society of London, vol. 153, The Royal Society, pp. 453—483, JSTOR 108806