Четырнадцатая проблема Гильберта (Cymdjug;egmgx hjkQlybg Inl,Qyjmg)

Четырнадцатая проблема Гильберта — четырнадцатая из проблем, поставленных Давидом Гильбертом в его знаменитом докладе на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Она посвящена вопросу конечной порождённости возникающих при определённых конструкциях колец. Исходная постановка Гильберта была мотивирована работой Маурера, в которой утверждалась конечная порождённость алгебры инвариантов линейного действия алгебраической группы на векторном пространстве; собственно же вопрос Гильберта касался кольца, получаемого пересечением подполя в поле рациональных функций с кольцом многочленов.^[1]

Однако вскоре после доклада выяснилось, что работа Маурера содержала ошибку, — и вопрос Гильберта начали рассматривать как вопрос о конечной порождённости алгебр инвариантов линейных алгебраических групп. Неожиданным образом оказалось, что ответ на этот вопрос отрицателен: в 1958 году на конгрессе в Эдинбурге М. Нагата предъявил к нему контрпример^[1]^[2] . Им была построена^[3] подгруппа в GL(n), алгебра инвариантов которой не является конечно порождённой. Эта конструкция была затем упрощена^[1] Стейнбергом в его работе^[4] 1997 года.

Формулировки

Исходная формулировка Гильберта

14. Доказательство конечности некоторой полной системы функций.
<...> Мауреру недавно удалось распространить доказанные Жорданом и мною теоремы конечности в теории инвариантов на случай, когда инварианты определяются не общей проективной группой, как в обыкновенной теории инвариантов, а произвольной её подгруппой. <...>
Пусть дано некоторое число m целых рациональных функций $X_{1},...,X_{m}$ от переменных $x_{1},\dots ,x_{n}$ :

$\left.{\begin{array}{c}X_{1}=f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\X_{2}=f_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\X_{m}=f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\end{array}}\right\}\qquad \qquad (S)$

Всякая целая рациональная связь между $X_{1},\dots ,X_{m}$ , если в неё внесены эти их значения, очевидно, тоже представляет целую рациональную функцию от $x_{1},\dots ,x_{n}$ . Вполне, однако, могут существовать дробные рациональные функции от $X_{1},\dots ,X_{m}$ , которые после подстановки (S) приведут к целым функциям от $x_{1},\dots ,x_{n}$ . Каждую такую функцию <...> я буду называть относительно целой функцией от $X_{1},\dots ,X_{m}$ . <...> Проблема, таким образом, выражается в следующем: установить, всегда ли возможно найти такую конечную систему относительно целых функций от $X_{1},\dots ,X_{m}$ , через которую любая другая относительно целая функция выражается целым и рациональным образом. <...>^[5]

Иными словами, это вопрос о конечной порождённости алгебры $K\bigcap k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ , где $K$ — порождённое $X_{1},\dots ,X_{n}$ поле. Поскольку всякое промежуточное поле $k\subset K\subset k(x_{1},\dots ,x_{n})$ является конечно-порожденым как расширение k, в итоге на современном языке исходная формулировка Гильберта звучит следующим образом:

Пусть $K\subset k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ — некоторое поле, содержащее основное поле k. Правда ли, что алгебра $K\bigcap k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ конечно порождена?^[1]

Конечная порождённость алгебры инвариантов

Литература

↑ ¹ ² ³ ⁴ Записки курса И.Аржанцева «Алгебры инвариантов и 14 проблема Гильберта Архивная копия от 8 ноября 2013 на Wayback Machine»
↑ Дьёдонне Ж., Керрол Дж., Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариантов. - М., Мир, 1974. - c. 74-81
↑ M. Nagata, Lectures on the Fourteenth problem of Hilbert. Tata Institute, 1965.
↑ R. Steinberg, Nagata’s example. In: «Algebraic Groups Lie Groups», Austral. Math. Soc. Lect. Series 9, Cambr. University Press (1997), 375—384.
↑ Перевод доклада Гильберта с немецкого — М. Г. Шестопал и А. В. Дорофеева, опубликован в книге Архивированная копия (неопр.). Дата обращения: 27 марта 2010. Архивировано из оригинала 17 октября 2011 года.Архивированная копия (неопр.). Дата обращения: 27 марта 2010. Архивировано из оригинала 17 октября 2011 года.

И. В. Аржанцев. Градуированные алгебры и 14-я проблема Гильберта. — М.: МЦНМО, 2009. — 64 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-491-0.
Проблемы Гильберта / под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — 240 с. — 10 700 экз. Архивная копия от 17 октября 2011 на Wayback Machine

[arzh-1] ¹ ² ³ ⁴ Записки курса И.Аржанцева «Алгебры инвариантов и 14 проблема Гильберта Архивная копия от 8 ноября 2013 на Wayback Machine»

[2] Дьёдонне Ж., Керрол Дж., Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариантов. - М., Мир, 1974. - c. 74-81

[3] M. Nagata, Lectures on the Fourteenth problem of Hilbert. Tata Institute, 1965.

[4] R. Steinberg, Nagata’s example. In: «Algebraic Groups Lie Groups», Austral. Math. Soc. Lect. Series 9, Cambr. University Press (1997), 375—384.

[HilbertRus-5] Перевод доклада Гильберта с немецкого — М. Г. Шестопал и А. В. Дорофеева, опубликован в книге Архивированная копия (неопр.). Дата обращения: 27 марта 2010. Архивировано из оригинала 17 октября 2011 года.Архивированная копия (неопр.). Дата обращения: 27 марта 2010. Архивировано из оригинала 17 октября 2011 года.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]