Слева полная матрица плотности
ρ
A
B
{\displaystyle \rho _{AB}}
матрица плотности
ρ
A
{\displaystyle \rho _{A}}
В линейной алгебре частичный след обобщает понятие след матрицы . Cлед линейного оператора является скаляром , тогда как частичный след сам является линейным оператором . Частичный след применяется в квантовой информатике и теории декогеренции .
Для любого пространства
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
L
(
A
)
{\displaystyle L(A)}
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
векторными пространствами над полем с размерностями
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
V иW будут соответственно
v
1
,
…
,
v
m
{\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}}
w
1
,
…
,
w
n
{\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}
Частичный след
Tr
W
{\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}}
W
{\displaystyle W}
{
a
k
ℓ
,
i
j
}
=
A
∈
L
(
V
⊗
W
)
↦
{
b
k
,
i
}
=
Tr
W
(
A
)
∈
L
(
V
)
{\displaystyle \{a_{k\ell ,ij}\}=A\in \operatorname {L} (V\otimes W)\mapsto \{b_{k,i}\}=\operatorname {Tr} _{W}(A)\in \operatorname {L} (V)}
b
k
,
i
=
∑
j
=
1
n
a
k
j
,
i
j
.
{\displaystyle b_{k,i}=\sum _{j=1}^{n}a_{kj,ij}.}
Линейный оператор заданный таким образом не зависит от выбора базиса
v
1
,
…
,
v
m
{\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}}
w
1
,
…
,
w
n
{\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}
Рассмотрим двухчастичные состояния. Чистые вектора-состояния принадлежат гильбертову пространству
H
A
⊗
H
B
{\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}}
H
A
⊗
H
B
⊗
H
A
∗
⊗
H
B
∗
{\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}\otimes H_{A}^{*}\otimes H_{B}^{*}}
ρ
A
B
∈
H
A
⊗
H
B
⊗
H
A
∗
⊗
H
B
∗
{\displaystyle \rho _{AB}\in H_{A}\otimes H_{B}\otimes H_{A}^{*}\otimes H_{B}^{*}}
{
|
i
⟩
A
}
{\displaystyle \{{\left|{i}\right\rangle }_{A}\}}
{
|
i
⟩
B
}
{\displaystyle \{{\left|{i}\right\rangle }_{B}\}}
H
A
{\displaystyle H_{A}}
H
B
{\displaystyle H_{B}}
Тогда подсистема
A
{\displaystyle A}
ρ
A
=
Tr
B
(
ρ
A
B
)
=
∑
|
i
⟩
B
⟨
i
|
B
ρ
A
B
|
i
⟩
B
{\displaystyle \rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}(\rho _{AB})=\sum _{{\left|{i}\right\rangle }_{B}}{{\left\langle {i}\right|}_{B}\rho _{AB}{\left|{i}\right\rangle }_{B}}}
