Циркулянт (Enjtrlxum)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Циркулянт или циркулянтная матрица — это матрица вида

где все  — комплексные числа[1]. Циркулянт можно также кратко описать как [2]. Таким образом, циркулянт — это матрица, в которой любая следующая строка (столбец), начиная с первой (с первого) получается циклической алфавитной перестановкой элементов предыдущей строки (столбца). Любая циркулянтная матрица по определению является тёплицевой.

Также циркулянтом часто называют определитель такой матрицы[3].

Пусть и  — циркулянтные матрицы. Тогда выполняются следующие свойства[4].

Определитель

[править | править код]

Обозначим первообразный корень из единицы степени . Тогда имеет место следующая формула для определителя циркулянта :

Иными словами, собственные числа циркулянта равны дискретному преобразованию Фурье вектора [3].

Примеры

Для определитель циркулянта равен:

Для :

Связанные определения

[править | править код]

Антициркулянт

[править | править код]

Антициркулянт — это матрица аналогичного вида[5]:

Косоциркулянт

[править | править код]

Матрица вида

называется -косоциркулянтом порядка при [6].

Очевидно, что циркулянт является -косоциркулянтом, а антициркулянт — -косоциркулянтом.

Примечания

[править | править код]
  1. Aldrovandi, 2001, p. 83.
  2. Davis, 1979, p. 66.
  3. 1 2 Aldrovandi, 2001, p. 84.
  4. Bernstein, D. S.. Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas (англ.). — 2nd ed.. — Princeton University Press, 2009. — P. 356. — ISBN 978-0-691-13287-7.
  5. Bini, Pan, 1994, p. 132.
  6. Воеводин, Тыртышников, 1987, с. 47.

Литература

[править | править код]