Функция распределения простых чисел (Srutenx jgvhjy;ylyunx hjkvmd] cnvyl)

В математике функция распределения простых чисел, или пи-функция $\pi (x)$ , — это функция, равная числу простых чисел, меньших либо равных действительному числу x.^[1]^[2] Она обозначается $\pi (x)$ (это никак не связано с числом пи).

Значения пи-функции для первых 60 натуральных чисел

История

Большой интерес в теории чисел представляет скорость роста пи-функции.^[3]^[4] В конце XVIII столетия Гауссом и Лежандром было выдвинуто предположение, что пи-функция оценивается как

{\frac {x}{\ln x}}

в смысле, что

\lim \limits _{x\to +\infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln x}}=1.

Это утверждение — теорема о распределении простых чисел. Оно эквивалентно утверждению

\lim \limits _{x\to +\infty }{\frac {\pi (x)}{\operatorname {li} (x)}}=1

где $\operatorname {li}$ — это интегральный логарифм. Теорема о простых числах впервые была доказана в 1896 Жаком Адамаром и независимо Валле-Пуссеном, используя дзета-функцию Римана введенную Риманом в 1859.

Точнее рост $\pi (x)$ сейчас описывается как

\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O{\bigl (}xe^{-{\sqrt {\ln x}}/15}{\bigr )}

где $O$ обозначает O большое. Когда x не сильно велико $\operatorname {li} (x)$ больше, чем $\pi (x)$ , однако разность $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ меняет свой знак бесконечное число раз, наименьшее натуральное число, для которого происходит смена знака называется числом Скьюза.

Доказательства теоремы о простых числах, не использующие дзета-функцию или комплексный анализ, были найдены в 1948 году Атле Сельбергом и Паулем Эрдёшом (большей частью независимо).^[5]

Таблицы для пи-функции, x / ln x и li(x)

В следующей таблице показан рост функций $\pi (x),{\frac {x}{\ln x}},\operatorname {li} (x)$ по степеням 10^[3]^[6]^[7]^[8].

x	π(x)	π(x) − x / ln x	li(x) − π(x)	x / π(x)	π(x)/x (доля простых чисел)
10	4	−0,3	2,2	2,500	40 %
10²	25	3,3	5,1	4,000	25 %
10³	168	23	10	5,952	16,8 %
10⁴	1 229	143	17	8,137	12,3 %
10⁵	9 592	906	38	10,425	9,59 %
10⁶	78 498	6 116	130	12,740	7,85 %
10⁷	664 579	44 158	339	15,047	6,65 %
10⁸	5 761 455	332 774	754	17,357	5,76 %
10⁹	50 847 534	2 592 592	1 701	19,667	5,08 %
10¹⁰	455 052 511	20 758 029	3 104	21,975	4,55 %
10¹¹	4 118 054 813	169 923 159	11 588	24,283	4,12 %
10¹²	37 607 912 018	1 416 705 193	38 263	26,590	3,76 %
10¹³	346 065 536 839	11 992 858 452	108 971	28,896	3,46 %
10¹⁴	3 204 941 750 802	102 838 308 636	314 890	31,202	3,20 %
10¹⁵	29 844 570 422 669	891 604 962 452	1 052 619	33,507	2,98 %
10¹⁶	279 238 341 033 925	7 804 289 844 393	3 214 632	35,812	2,79 %
10¹⁷	2 623 557 157 654 233	68 883 734 693 281	7 956 589	38,116	2,62 %
10¹⁸	24 739 954 287 740 860	612 483 070 893 536	21 949 555	40,420	2,47 %
10¹⁹	234 057 667 276 344 607	5 481 624 169 369 960	99 877 775	42,725	2,34 %
10²⁰	2 220 819 602 560 918 840	49 347 193 044 659 701	222 744 644	45,028	2,22 %
10²¹	21 127 269 486 018 731 928	446 579 871 578 168 707	597 394 254	47,332	2,11 %
10²²	201 467 286 689 315 906 290	4 060 704 006 019 620 994	1 932 355 208	49,636	2,01 %
10²³	1 925 320 391 606 803 968 923	37 083 513 766 578 631 309	7 250 186 216	51,939	1,92 %
10²⁴	18 435 599 767 349 200 867 866	339 996 354 713 708 049 069	17 146 907 278	54,243	1,84 %
10²⁵	176 846 309 399 143 769 411 680	3 128 516 637 843 038 351 228	55 160 980 939	56,546	1,77 %
10²⁶	1 699 246 750 872 437 141 327 603	28 883 358 936 853 188 823 261	155 891 678 121	58,850	1,70 %
10²⁷	16 352 460 426 841 680 446 427 399	267 479 615 610 131 274 163 365	508 666 658 006	61,153	1,64 %

В OEIS первая колонка значений $\pi (x)$ — это последовательность A006880, $\pi (x)-\left\lfloor {\frac {x}{\ln x}}+0{,}5\right\rfloor$ — это последовательность A057835, а $\lfloor \operatorname {li} (x)+0{,}5\rfloor -\pi (x)$ — это последовательность A057752.

Алгоритмы вычисления пи-функции

Простой способ найти $\pi (x)$ , если $x$ не очень велико, — это использование решета Эратосфена выдающего простые, не превосходящие $x$ и подсчитать их.

Более продуманный способ вычисления $\pi (x)$ был дан Лежандром: дан $x$ , если $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k}$ — различные простые числа, то число целых чисел, не превосходящих $x$ и не делящихся на все $p_{i}$ равно

\lfloor x\rfloor -\sum _{i}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}}}\right\rfloor +\sum _{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}}}\right\rfloor -\sum _{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}p_{k}}}\right\rfloor +\cdots

(где $\lfloor \cdots \rfloor$ обозначает целую часть). Следовательно, полученное число равно

\pi (x)-\pi \left({\sqrt {x}}\right)+1

если числа $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k}$ — это все простые числа, не превосходящие ${\sqrt {x}}$ .

В 1870—1885 годах в серии статей Эрнст Майссель описал (и использовал) практический комбинаторный способ вычисления $\pi (x)$ . Пусть $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}$ — первые $n$ простых, обозначим $\Phi (m,n)$ число натуральных чисел, не превосходящих $m$ , которые не делятся ни на одно $p_{i}$ . Тогда

\Phi (m,n)=\Phi (m,n-1)-\Phi \left(\left[{\frac {m}{p_{n}}}\right],n-1\right)

Возьмем натуральное $m$ , если $n=\pi \left({\sqrt[{3}]{m}}\right)$ и если $\mu =\pi \left({\sqrt {m}}\right)-n$ , то

\pi (m)=\Phi (m,n)+n(\mu +1)+{\frac {\mu ^{2}-\mu }{2}}-1-\sum _{k=1}^{\mu }\pi \left({\frac {m}{p_{n+k}}}\right)

Используя этот подход, Майссель вычислил $\pi (x)$ для $x=5\cdot 10^{5};10^{6};10^{7};10^{8}$ .

В 1959 году Деррик Генри Лемер расширил и упростил метод Майсселя. Определим, для действительного $m$ и для натуральных $n,k$ величину $P_{k}(m,n)$ как число чисел, не превосходящих m имеющих ровно k простых множителей, причем все они превосходят $p_{n}$ . Кроме того, положим $P_{0}(m,n)=1$ . Тогда

\Phi (m,n)=\sum _{k=0}^{+\infty }P_{k}(m,n)

где сумма явно всегда имеет конечное число ненулевых слагаемых. Пусть $y$ — целое, такое, что ${\sqrt[{3}]{m}}\leqslant y\leqslant {\sqrt {m}}$ , и положим $n=\pi (y)$ . Тогда $P_{1}(m,n)=\pi (m)-n$ и $P_{k}(m,n)=0$ при $k\geqslant 3$ . Следовательно

\pi (m)=\Phi (m,n)+n-1-P_{2}(m,n)

Вычисление $P_{2}(m,n)$ может быть получено следующим способом:

P_{2}(m,n)=\sum _{y<p\leqslant {\sqrt {m}}}\left(\pi \left({\frac {m}{p}}\right)-\pi (p)+1\right)

С другой стороны, вычисление $\Phi (m,n)$ может быть выполнено с помощью следующих правил:

$\Phi (m,0)=\lfloor m\rfloor$
$\Phi (m,b)=\Phi (m,b-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{b}}},b-1\right)$

Используя этот метод и IBM 701, Лемер смог вычислить $\pi \left(10^{10}\right)$ .

Дальнейшие усовершенствования этого метода были сделаны Lagarias, Miller, Odlyzko, Deleglise и Rivat.^[9]

Китайский математик Hwang Cheng использовал следующие тождества:^[10]

e^{(a-1)\Theta }f(x)=f(ax),

J(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\pi (x^{1/n})}{n}}

и, полагая $x=e^{t}$ , выполняя преобразование Лапласа обеих частей и применяя сумму геометрической прогрессии с $e^{n\Theta }$ , получил выражение:

{\frac {1}{2{\pi }i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }g(s)t^{s}\,ds=\pi (t)

{\frac {\ln \zeta (s)}{s}}=(1-e^{\Theta (s)})^{-1}g(s)

\Theta (s)=s{\frac {d}{ds}}

Другие функции, подсчитывающие простые числа

Другие функции, подсчитывающие простые числа, также используются, поскольку с ними удобнее работать. Одна из них — функция Римана, часто обозначаемая как $\Pi _{0}(x)$ или $J_{0}(x)$ . Она испытывает прыжок на 1/n для степеней простых $p^{n}$ , причем в точке прыжка $x$ её значение равно полусумме значений на обеих сторонах от $x$ . Эти дополнительные детали нужны для того, чтобы она могла быть определена обратным преобразованием Меллина. Формально, мы определим $\Pi _{0}(x)$ как

\Pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}{\bigg (}\sum _{p^{n}<x}{\frac {1}{n}}\ +\sum _{p^{n}\leq x}{\frac {1}{n}}{\bigg )}

где p простое.

Мы также можем записать

\Pi _{0}(x)=\sum \limits _{n=2}^{x}{\frac {\Lambda (n)}{\ln n}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\Lambda (x)}{\ln x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\pi _{0}({\sqrt[{n}]{x}})

где $\Lambda (n)$ — функция Мангольдта и

\pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\pi (x-\varepsilon )+\pi (x+\varepsilon )}{2}}.

Формула обращения Мёбиуса дает

\pi _{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi _{0}({\sqrt[{n}]{x}})

Используя известное соотношение между логарифмом дзета-функции Римана и функцией Мангольдта $\Lambda$ , и используя формулу Перрона мы получим

\ln \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }\Pi _{0}(x)x^{-s-1}\,dx

Функция Римана имеет производящую функцию

\sum _{n=1}^{\infty }\Pi _{0}(n)x^{n}=\sum _{a=2}^{\infty }{\frac {x^{a}}{1-x}}-{\frac {1}{2}}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }{\frac {x^{ab}}{1-x}}+{\frac {1}{3}}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }{\frac {x^{abc}}{1-x}}-{\frac {1}{4}}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }\sum _{d=2}^{\infty }{\frac {x^{abcd}}{1-x}}+\cdots

Функции Чебышёва — это функции, подсчитывающие степени простых чисел $p^{n}$ с весом $\ln p$ :

\theta (x)=\sum _{p\leqslant x}\ln p

\psi (x)=\sum _{p^{n}\leqslant x}\ln p=\sum _{n=1}^{\infty }\theta ({\sqrt[{n}]{x}})=\sum _{n\leqslant x}\Lambda (n).

Формулы для функций, подсчитывающих простые числа

Формулы для функций, подсчитывающих простые числа, бывают двух видов: арифметические формулы и аналитические формулы. Аналитические формулы для таких функций были впервые использованы для доказательства теоремы о простых числах. Они происходят от работ Римана и Мангольдта и в общем известны как явные формулы.^[11]

Существует следующее выражение для $\psi$ -функции Чебышёва:

\psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}\ln(1-x^{-2})

где

\psi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}.

Здесь $\rho$ пробегает нули дзета-функции в критической полосе, где действительная часть $\rho$ лежит между нулем и единицей. Формула верна для всех $x>1$ . Ряд по корням сходится условно, и может быть взят в порядке абсолютного значения возрастания мнимой части корней. Заметим, что аналогичная сумма по тривиальным корням дает последнее слагаемое в формуле.

Для $\scriptstyle \Pi _{0}(x)$ мы имеем следующую сложную формулу

\Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\ln 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t(t^{2}-1)\ln t}}.

Опять же, формула верна для всех $x>1$ , где $\rho$ — нетривиальные нули зета-функции, упорядоченные по их абсолютному значению, и, снова, последний интеграл берется со знаком «минус» и является такой же суммой, но по тривиальным нулям. Выражение $\operatorname {li} (x^{\rho })$ во втором члене может быть рассмотренно как $\operatorname {Ei} (\rho \ln x)$ , где $\operatorname {Ei}$ — это аналитическое продолжение интегральной показательной функции на комплексную плоскость с ветвью, вырезанной вдоль прямой $x<0$ .

Таким образом, формула обращения Мёбиуса дает нам^[12]

\pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })-{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {arctg} } {\frac {\pi }{\ln x}}

верное для $x>1$ , где

\operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} (x^{1/n})=1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{k}}{k!k\zeta (k+1)}}

называется R-функцией также в честь Римана.^[13] Последний ряд в ней известен как ряд Грама^[14] и сходится для всех $x>0$ .

Сумма по нетривиальным нулям дзета-функции в формуле для $\pi _{0}(x)$ описывает флуктуации $\pi _{0}(x)$ , в то время как остальные слагаемые дают гладкую часть пи-функции,^[15] поэтому мы можем использовать

\operatorname {R} (x)-{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {arctg} } {\frac {\pi }{\ln x}}

как наилучшее приближение для $\pi (x)$ для $x>1$ .

Амплитуда «шумной» части эвристически оценивается как ${\sqrt {x}}/\ln x$ , поэтому флуктуации в распределении простых могут быть явно представлены $\Delta$ -функцией:

\Delta (x)=\left(\pi _{0}(x)-\operatorname {R} (x)+{\frac {1}{\ln x}}-{\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {arctg} } {\frac {\pi }{\ln x}}\right){\frac {\ln x}{\sqrt {x}}}.

Обширные таблицы значений $\Delta (x)$ доступны здесь.^[7]

Неравенства

Здесь выписаны некоторые неравенства для $\pi (x)$ .

{\frac {x}{\ln x}}<\pi (x)<1{,}25506\cdot {\frac {x}{\ln x}}\qquad x\geqslant 17.

Левое неравенство выполняется при $x\geqslant 17$ , а правое — при $x>1.$ ^[16]

Неравенства для $n$ -го простого числа $p_{n}$ :

n\ln n+n\ln \ln n-3/2\cdot n<p_{n}<n\ln n+n\ln \ln n,\ n\geqslant 6.

Левое неравенство верно при $n\geqslant 2$ , а правое — при $n\geqslant 6$ .

Имеет место следующая асимптотика для $n$ -го простого числа $p_{n}$ :

p_{n}=n\ln n\left(1+{\frac {\ln \ln n-1}{\ln n}}+{\frac {\ln \ln n-2}{\ln ^{2}n}}+{\frac {-1/2\ln ^{2}\ln n+3\ln \ln n-11/2}{\ln ^{3}n}}+O\left({\frac {\ln ^{3}\ln n}{\ln ^{4}n}}\right)\right)

Гипотеза Римана

Гипотеза Римана эквивалентна более точной границе ошибки приближения $\pi (x)$ интегральным логарифмом, а отсюда и более регулярному распределению простых чисел

\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O({\sqrt {x}}\ln x).

В частности,^[17]

|\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\,\ln x,\qquad x\geqslant 2657.

См. также

Примечания

↑ Bach, Eric; Shallit, Jeffrey. Section 8.8 // Algorithmic Number Theory (неопр.). — MIT Press, 1996. — Т. 1. — С. 234. — ISBN 0-262-02405-5.
↑ Weisstein, Eric W. Prime Counting Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
↑ ¹ ² How many primes are there? (неопр.) Chris K. Caldwell. Дата обращения: 2 декабря 2008. Архивировано 20 сентября 2012 года.
↑ Dickson, Leonard Eugene^[англ.]. History of the Theory of Numbers I: Divisibility and Primality (англ.). — Dover Publications, 2005. — ISBN 0-486-44232-2.
↑ K. Ireland, M. Rosen. A Classical Introduction to Modern Number Theory (англ.). — Second. — Springer, 1998. — ISBN 0-387-97329-X.
↑ Tables of values of pi(x) and of pi2(x) (неопр.). Tomas Oliveira e Silva. Дата обращения: 14 сентября 2008. Архивировано 20 сентября 2012 года.
↑ ¹ ² Values of π(x) and Δ(x) for various x's (неопр.). Andrey V. Kulsha. Дата обращения: 14 сентября 2008. Архивировано 20 сентября 2012 года.
↑ A table of values of pi(x) (неопр.). Xavier Gourdon, Pascal Sebah, Patrick Demichel. Дата обращения: 14 сентября 2008. Архивировано 20 сентября 2012 года.
↑ Computing ?(x): The Meissel, Lehmer, Lagarias, Miller, Odlyzko method (неопр.). Marc Deleglise and Joel Rivat, Mathematics of Computation, vol. 65, number 33, January 1996, pages 235–245. Дата обращения: 14 сентября 2008. Архивировано 20 сентября 2012 года.
↑ Hwang H., Cheng (2001). "Demarches de la Geometrie et des Nombres de l'Universite du Bordeaux". Prime Magic conference.
↑ Titchmarsh, E.C. The Theory of Functions, 2nd ed (англ.). — Oxford University Press, 1960.
↑ Riesel, Hans^[англ.]; Gohl, Gunnar. Some calculations related to Riemann's prime number formula (англ.) // Mathematics of Computation^[англ.] : journal. — American Mathematical Society, 1970. — Vol. 24, no. 112. — P. 969—983. — ISSN 0025-5718. — doi:10.2307/2004630. — JSTOR 2004630.
↑ Weisstein, Eric W. Riemann Prime Counting Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
↑ Weisstein, Eric W. Gram Series (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
↑ The encoding of the prime distribution by the zeta zeros (неопр.). Matthew Watkins. Дата обращения: 14 сентября 2008. Архивировано 20 сентября 2012 года.
↑ Rosser, J. Barkley^[англ.]; Schoenfeld, Lowell. Approximate formulas for some functions of prime numbers (англ.) // Illinois J. Math. : journal. — 1962. — Vol. 6. — P. 64—94. — ISSN 0019-2082. Архивировано 28 февраля 2019 года.
↑ Lowell Schoenfeld. Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II (англ.) // Mathematics of Computation^[англ.] : journal. — American Mathematical Society, 1976. — Vol. 30, no. 134. — P. 337—360. — ISSN 0025-5718. — doi:10.2307/2005976. — JSTOR 2005976.

Литература

К. Прахар. Распределение простых чисел. — Мир, 1967.
В. И. Зенкин. Распределение простых чисел. Элементарные методы. Калининград, 2008.

Ссылки

Chris Caldwell, The Nth Prime Page at The Prime Pages.

[Bach-1] Bach, Eric; Shallit, Jeffrey. Section 8.8 // Algorithmic Number Theory (неопр.). — MIT Press, 1996. — Т. 1. — С. 234. — ISBN 0-262-02405-5.

[mathworld_pcf-2] Weisstein, Eric W. Prime Counting Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[Caldwell-3] ¹ ² How many primes are there? (неопр.) Chris K. Caldwell. Дата обращения: 2 декабря 2008. Архивировано 20 сентября 2012 года.

[Dickson-4] Dickson, Leonard Eugene^[англ.]. History of the Theory of Numbers I: Divisibility and Primality (англ.). — Dover Publications, 2005. — ISBN 0-486-44232-2.

[Ireland-5] K. Ireland, M. Rosen. A Classical Introduction to Modern Number Theory (англ.). — Second. — Springer, 1998. — ISBN 0-387-97329-X.

[Silva-6] Tables of values of pi(x) and of pi2(x) (неопр.). Tomas Oliveira e Silva. Дата обращения: 14 сентября 2008. Архивировано 20 сентября 2012 года.

[Kulsha-7] ¹ ² Values of π(x) and Δ(x) for various x's (неопр.). Andrey V. Kulsha. Дата обращения: 14 сентября 2008. Архивировано 20 сентября 2012 года.

[Gourdon-8] A table of values of pi(x) (неопр.). Xavier Gourdon, Pascal Sebah, Patrick Demichel. Дата обращения: 14 сентября 2008. Архивировано 20 сентября 2012 года.

[pix_comp-9] Computing ?(x): The Meissel, Lehmer, Lagarias, Miller, Odlyzko method (неопр.). Marc Deleglise and Joel Rivat, Mathematics of Computation, vol. 65, number 33, January 1996, pages 235–245. Дата обращения: 14 сентября 2008. Архивировано 20 сентября 2012 года.

[Cheng-10] Hwang H., Cheng (2001). "Demarches de la Geometrie et des Nombres de l'Universite du Bordeaux". Prime Magic conference.

[Titchmarsh-11] Titchmarsh, E.C. The Theory of Functions, 2nd ed (англ.). — Oxford University Press, 1960.

[12] Riesel, Hans^[англ.]; Gohl, Gunnar. Some calculations related to Riemann's prime number formula (англ.) // Mathematics of Computation^[англ.] : journal. — American Mathematical Society, 1970. — Vol. 24, no. 112. — P. 969—983. — ISSN 0025-5718. — doi:10.2307/2004630. — JSTOR 2004630.

[mathworld_r-13] Weisstein, Eric W. Riemann Prime Counting Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[mathworld_gram-14] Weisstein, Eric W. Gram Series (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[Watkins-15] The encoding of the prime distribution by the zeta zeros (неопр.). Matthew Watkins. Дата обращения: 14 сентября 2008. Архивировано 20 сентября 2012 года.

[16] Rosser, J. Barkley^[англ.]; Schoenfeld, Lowell. Approximate formulas for some functions of prime numbers (англ.) // Illinois J. Math. : journal. — 1962. — Vol. 6. — P. 64—94. — ISSN 0019-2082. Архивировано 28 февраля 2019 года.

[17] Lowell Schoenfeld. Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II (англ.) // Mathematics of Computation^[англ.] : journal. — American Mathematical Society, 1976. — Vol. 30, no. 134. — P. 337—360. — ISSN 0025-5718. — doi:10.2307/2005976. — JSTOR 2005976.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]