Функтор обратного образа (Srutmkj kQjgmukik kQjg[g)

Функтор обратного образа — это ковариантная конструкция пучков. Функтор прямого образа является первичной операцией на пучках, с простым определением. Обратный образ обладает более тонкими свойствами.

Определение

Пусть нам дан пучок ${\mathcal {G}}$ на $Y$ и мы хотим перенести ${\mathcal {G}}$ на $X$, используя непрерывное отображение $f\colon X\to Y$.

Мы будем называть результат обратным образом $f^{-1}{\mathcal {G}}$. Если мы попытаемся имитировать определение прямого образа и положим

$f^{-1}{\mathcal {G}}(U)={\mathcal {G}}(f(U)),$

для каждого открытого множества $U$ в $X$, мы немедленно столкнёмся с проблемой: $f(U)$ не обязательно открыто. Лучшее, что мы можем сделать — это приблизить его открытыми множествами, и даже в этом случае мы получим предпучок, а не пучок. Таким образом, мы определяем $f^{-1}{\mathcal {G}}$ как пучок, ассоциированный с предпучком

$U\mapsto \varinjlim _{V\supseteq f(U)}{\mathcal {G}}(V).$

(Здесь $U$ — открытое подмножество $X$ и копредел берётся по всем открытым подмножествам $V$ пространства $Y$, сожержащим $f(U)$.)

Например, если $f$ — это просто вложение точки $y$ в $Y$, то $f^{-1}({\mathcal {F}})$ — это слой пучка ${\mathcal {F}}$ в этой точке.

Существование отображений ограничения, как и функториальность обратного образа, следуют из универсального свойства прямых пределов.

Когда рассматриваются морфизмы локально окольцованных пространств $f\colon X\to Y$, например схем в алгебраической геометрии, часто работают с пучками ${\mathcal {O}}_{Y}$-модулей, где ${\mathcal {O}}_{Y}$ — структурный пучок $Y$. Тогда функтор $f^{-1}$ не подходит, так как результат его применения, вообще говоря, не является пучком ${\mathcal {O}}_{X}$-модулей. Чтобы исправить это, в этой ситуации для пучка ${\mathcal {O}}_{Y}$-модулей ${\mathcal {G}}$ его обратный образ определяется по правилу

$f^{*}{\mathcal {G}}:=f^{-1}{\mathcal {G}}\otimes _{f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{X}$.

Свойства

• Хотя $f^{-1}$ определяется сложнее, чем $f_{\ast }$, его слои вычисляются проще: для точки $x\in X$, имеем $(f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}\cong {\mathcal {G}}_{f(x)}$.
• $f^{-1}$ — точный функтор, как видно из приведённого выше вычисления слоёв.
• $f^{*}$, вообще говоря, только точен справа. Если $f^{*}$ точен, f называется плоским.
• $f^{-1}$ сопряжён слева к функтору прямого образа $f_{\ast }$, то есть существует естественный изоморфизм

$\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}},f_{*}{\mathcal {F}})$.

Литература

• Iversen, Birger, Cohomology of sheaves, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1986, ISBN 978-3-540-16389-3.