Функтор обратного образа (Srutmkj kQjgmukik kQjg[g)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Функтор обратного образа — это ковариантная конструкция пучков. Функтор прямого образа является первичной операцией на пучках, с простым определением. Обратный образ обладает более тонкими свойствами.

Определение

[править | править код]

Пусть нам дан пучок на и мы хотим перенести на , используя непрерывное отображение .

Мы будем называть результат обратным образом . Если мы попытаемся имитировать определение прямого образа и положим

для каждого открытого множества в , мы немедленно столкнёмся с проблемой: не обязательно открыто. Лучшее, что мы можем сделать — это приблизить его открытыми множествами, и даже в этом случае мы получим предпучок, а не пучок. Таким образом, мы определяем как пучок, ассоциированный с предпучком

(Здесь  — открытое подмножество и копредел берётся по всем открытым подмножествам пространства , сожержащим .)

Например, если  — это просто вложение точки в , то  — это слой пучка в этой точке.

Существование отображений ограничения, как и функториальность обратного образа, следуют из универсального свойства прямых пределов.

Когда рассматриваются морфизмы локально окольцованных пространств , например схем в алгебраической геометрии, часто работают с пучками -модулей, где  — структурный пучок . Тогда функтор не подходит, так как результат его применения, вообще говоря, не является пучком -модулей. Чтобы исправить это, в этой ситуации для пучка -модулей его обратный образ определяется по правилу

.
  • Хотя определяется сложнее, чем , его слои вычисляются проще: для точки , имеем .
  •  — точный функтор, как видно из приведённого выше вычисления слоёв.
  • , вообще говоря, только точен справа. Если точен, f называется плоским.
  • сопряжён слева к функтору прямого образа , то есть существует естественный изоморфизм
.

Литература

[править | править код]
  • Iversen, Birger, Cohomology of sheaves, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1986, ISBN 978-3-540-16389-3.