Формула Лиувилля — Остроградского (Skjbrlg Lnrfnllx — Kvmjkijg;vtkik)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Формула Лиуви́лля-Острогра́дского — формула, связывающая определитель Вронского (вронскиа́н) для решений дифференциального уравнения и коэффициенты в этом уравнении.

Пусть есть дифференциальное уравнение вида

тогда где  — определитель Вронского

Для линейной однородной системы дифференциальных уравнений

где  — непрерывная квадратная матрица порядка , справедлива формула Лиувилля-Остроградского

где след матрицы

Правило дифференцирования определителя размерности 2

[править | править код]

Производная определителя по переменной х имеет вид

Правило дифференцирования определителя размерности

[править | править код]

Пусть

Тогда для производной верно

-м слагаемом продифференцирована -я строка)

Доказательство для уравнения второго порядка

[править | править код]

Пусть в уравнении функции непрерывны на , а

 — решения данного уравнения.

Продифференцировав определитель Вронского, получим

Первое слагаемое равно 0, так как этот определитель содержит 2 одинаковые строки. Подставив

во второе слагаемое, получим

Прибавив первую строку, домноженную на q, ко второй, получим

решения линейно независимы, поэтому

 — дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Интегрируя, получим

Доказательство для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

[править | править код]

Пусть вектор-функции  — решения линейной системы ОДУ. Введем матрицу следующим образом

Тогда . Воспользуемся тем, что  — решения системы ОДУ, то есть .

В матричном виде последнее представимо в виде

или вводя производную от матрицы как матрицу из производных каждого элемента

Пусть  — -я строка матрицы . Тогда

Последнее означает, что производная от -й строки матрицы есть линейная комбинация всех строк этой матрицы с коэффициентами из -й строки матрицы . Рассмотрим определитель матрицы , в которой -я строка продифференцирована. Определитель не изменится, если из -й строки этой матрицы вычесть линейную комбинацию всех остальных строк.

Пользуясь формулой дифференцирования определителя, получаем

Последнее обыкновенное дифференциальное уравнение имеет решение

Доказательство для линейного дифференциального уравнения произвольного порядка

[править | править код]

Линейное дифференциальное уравнение -го порядка

эквивалентно следующей системе

с матрицей следующего вида

Вронскианы исходного уравнения и системы совпадают, а след матрицы равен . Подстановкой в формулу для системы получаем

Применение формулы Лиувилля-Остроградского

[править | править код]

Пусть известно решение линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, т. е. . Используя формулу Лиувилля-Остроградского, возможно найти линейно независимое от него решение той же системы.

Распишем вронскиан:

поэтому

Так как для линейной независимости и достаточно , приняв , получим

Пусть в уравнении известно частное решение . Воспользовавшись формулой Лиувилля-Остроградского, получим

Тогда общее решение однородного уравнения

Используемая литература

[править | править код]
  • Агафонов С. А., Герман А. Д., Муратова Т. В. Дифференциальные уравнения. Учебник для вузов. — М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 1999. — 366 с. — (Математика в техническом университете; Вып. VIII).
  • Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — 2-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. — 344 с.