Условный экстремум (Rvlkfudw ztvmjybrb)

Усло́вный экстре́мум — максимальное или минимальное значение, которое функция, определённая на множестве $G$ и принимающая вещественные значения, достигает в предположении, что значения некоторых других функций с той же областью определения подчинены определённым ограничительным условиям (если такие дополнительные условия отсутствуют, то говорят о безусловном экстремуме).

В частности, множество $G$ может быть подмножеством арифметического векторного пространства $\mathbb {R} ^{n},$ а упомянутые ограничительные условия, в свою очередь, могут быть заданы в виде равенств или неравенств. Ниже рассматриваются классическая задача на условный экстремум, в которой все условия заданы в виде равенств, а также задача Лагранжа — одна из классических задач вариационного исчисления.

Постановка классической задачи на условный экстремум

Пусть ${G\subset \mathbb {R} ^{n}}$ — открытое множество, и на нём заданы функции  $y_{i}=f_{i}({\vec {x}}),\;i=1,2,\dots ,m.$  Пусть $E=\lbrace \,{\vec {x}}\in G:\,f_{i}({\vec {x}})=0\;\;\forall \,i=1,2,\dots ,m\,\rbrace .$

Уравнения

$(*)\qquad f_{i}({\vec {x}})=0$

называют уравнениями связей (терминология заимствована из механики).

Пусть на $G$ определена также функция $y=f_{0}({\vec {x}}).$  Точка ${\vec {x}}_{0}\in E$ называется точкой условного экстремума данной функции относительно уравнений связей $(*),$ если она является точкой обычного (безусловного) экстремума функции $f_{0}$ на множестве $E$  (модификация определения экстремума сводится к тому, что в нём вместо окрестностей в $G$, то есть $U_{G}({\vec {x}}_{0})$, рассматриваются окрестности в $E$, то есть $U_{E}({\vec {x}}_{0})=U_{G}({\vec {x}}_{0})\bigcap E$).

Метод множителей Лагранжа для решения задачи условного экстремума

Теорема

Предположим, что все фигурирующие в постановке классической задачи на условный экстремум функции непрерывно дифференцируемы, и пусть ${\vec {x}}_{0}$ — точка условного экстремума функции $f_{0}$ при выполнении уравнений связей $(*).$  Тогда в этой точке градиенты $\nabla f_{i},\,i=0,1,\dots ,m$  являются линейно зависимыми, т. e.  $\exists \,\lambda _{i},\,i=0,1,\dots ,m\,\colon \;\sum _{i=0}^{m}|\lambda _{i}|\neq 0,$  но  $\sum _{i=0}^{m}\lambda _{i}\nabla f_{i}=0$ .

Числа $\lambda _{i},\,i=0,1,\dots ,m$ называются множителями Лагранжа и определены с точностью до умножения на произвольную ненулевую константу. Наибольший интерес представляет случай, когда $\lambda _{0}\neq 0$  (тогда, умножив все $\lambda _{i}$ на подходящую ненулевую константу, можно сделать множитель $\lambda _{0}$ равным $1$ и, таким образом, вообще исключить его из рассмотрения). В такой ситуации вместо только что сформулированной теоремы пользуются следующим следствием из неё.

Следствие

Если ${\vec {x}}_{0}$ — точка условного экстремума функции $f_{0}$ относительно уравнений связей $(*),$ и в ней градиенты $\nabla f_{i},i=1,\dots ,m$  линейно независимы, то  $\exists \,\lambda _{1},\dots ,\lambda _{m}$ такие, что в данной точке  $\nabla f_{0}+\lambda _{1}\nabla f_{1}+\dots +\lambda _{m}\nabla f_{m}=0.$  В координатном виде это векторное равенство эквивалентно выполнению равенств

$(**)\qquad {\frac {\partial f_{0}}{\partial x_{i}}}({\vec {x}}_{0})+\lambda _{1}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}({\vec {x}}_{0})+\dots +\lambda _{m}{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}({\vec {x}}_{0})=0\,,$

где $i=1,\dots ,n$ .

Равенствам $(**)$ можно дать следующую интерпретацию. Предположим, что для чисел $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{m}$ данные равенства выполняются, и объединим их в столбец ${\vec {\lambda }}_{0}.$  Составим функцию Лагранжа:

$L({\vec {x}};{\vec {f}},{\vec {\lambda }})=f_{0}({\vec {x}})+\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}\,f_{i}({\vec {x}})\,,$

где $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{m}$ — уже произвольные числа. Тогда при ${\vec {\lambda }}={\vec {\lambda }}_{0}$ точка ${\vec {x}}_{0}$ является стационарной точкой функции Лагранжа, а равенства $(**)$ могут быть записаны в виде

${\frac {\partial L}{\partial x_{1}}}\,=\,{\frac {\partial L}{\partial x_{2}}}\,=\,\dots \,=\,{\frac {\partial L}{\partial x_{n}}}\,=\,0\,;$

эти соотношения и являются условиями стационарности точки ${\vec {x}}_{0}.$  Добавляя к ним уравнения связей $(*),$ получаем $n+m$ уравнений относительно $n+m$ неизвестных $x_{1},\dots ,x_{n},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{m}$.

Пример.  Найдём стороны прямоугольника максимальной площади, вписанного в окружность $x^{2}+y^{2}=r^{2}.$  Здесь $n=2,$  $m=1,$  $f_{0}(x,y)=4xy,$  $f_{1}(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}.$  Составив функцию Лагранжа

$L(x,y)\,=\,4xy+\lambda (x^{2}+y^{2}-r^{2})$

и записав условия её стационарности в точке условного экстремума

${\frac {\partial L}{\partial x}}\equiv 4y+2\lambda x\,=\,0\,,\qquad {\frac {\partial L}{\partial y}}\equiv 4x+2\lambda y\,=\,0\,,$

находим:  $\lambda =-2$  и  $x=y=r/{\sqrt {2}}$  (прямоугольник максимальной площади оказался квадратом).

Достаточное условие условного экстремума

Если равенства $(**)$ при ${\vec {\lambda }}={\vec {\lambda }}_{0}$ выполнены и при этом (дополнительно предполагается, что в точке ${\vec {x}}_{0}$ все фигурирующие в постановке классической задачи на условный экстремум функции двукратно непрерывно дифференцируемы)  ${\rm {d}}^{2}L$ представляет собой отрицательно (положительно) определённую квадратичную форму переменных ${\rm {d}}x_{1},\dots ,{\rm {d}}x_{n},$  то ${\vec {x}}_{0}$ является точкой строгого условного максимума функции $f_{0}$ (строгого условного минимума для положительно определенной формы). Если же рассматриваемая квадратичная форма не является знакоопределённой, тогда условного экстремума нет.

Задача Лагранжа

Данная задача относится к вариационному исчислению и является одним из возможных обобщений классической задачи на условный экстремум. В задаче Лагранжа требуется найти непрерывно дифференцируемую функцию ${\vec {x}}={\vec {x}}(t),$  заданную на отрезке $[t_{0},t_{1}]$  и доставляющую экстремум (максимум или минимум) функционалу

$J\;=\;\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}F\,(t,{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t))\,\,{\rm {d}}t$

(точкой обозначена операция дифференцирования по $t$)  при фиксированных граничных условиях  ${\vec {x}}(t_{0})={\vec {x}}_{0},$  ${\vec {x}}(t_{1})={\vec {x}}_{1}$  и выполнении уравнений связей

$f_{i}\,(t,{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t))\,=\,0\,,$

где $i=1,2,\dots ,m$ .

В данной задаче также применим метод множителей Лагранжа. Предполагая уравнения связей независимыми, вводят в рассмотрение $m$ неизвестных функций $\lambda _{1}(t),\dots ,\lambda _{m}(t)$  и сводят исходную задачу к задаче безусловной оптимизации, заменяя подынтегральную функцию функцией

$\Phi \,=\,F\,(t,{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t))\,+\,\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}(t)\,f_{i}\,(t,{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t))\,;$

в качестве аналога равенств $(**)$ (т. e. в роли необходимых условий экстремума) теперь выступают уравнения Эйлера — Лагранжа, имеющие в рассматриваемом случае вид

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\frac {\partial \Phi }{\partial {\dot {x}}_{k}}}-{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{k}}}\,=\,0\,,$

где $k=1,2,\dots ,n.$  Из этих $n$ обыкновенных дифференциальных уравнений, дополненных уравнениями связей, находят (с учётом имеющихся граничных условий) $n+m$ неизвестных функций $x_{1}(t),\dots ,x_{n}(t),\lambda _{1}(t),\dots ,\lambda _{m}(t)$ .

См. также

• Метод множителей Лагранжа
• Экстремум

Литература

• Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. . Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979. — 432 с.
• Корн Г., Корн Т. . Справочник по математике для научных работников и инженеров. 4-е изд. — М.: Наука, 1978. — 832 с.
• Кудрявцев Л. Д. . Курс математического анализа. Т. 2. — М.: Высшая школа, 1981. — 584 с.